Como escrever equações em documentos técnicos sem complicação?

Ambiente Matemático no

ESTAT0090 – Estatística Computacional
Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br

Cenário

Seu orientador acaba de devolver seu artigo com um alerta:

“As equações estão ilegíveis e amadoras. Corrija URGENTE ou não poderemos submeter ao evento!”

O que deu errado?

  • Os símbolos estão sobrepostos e as frações mudam aleatoriamente de tamanho ao editar o texto.

  • A numeração das equações não segue uma sequência e referências no texto apontam para equações que não existem.

  • O evento exige LaTeX e você usou Word.

Cenário

O Problema

  • Equações quebram ao mudar margens ou versões do software.
  • Inserir uma nova equação desatualiza a numeração de TODAS as seqguintes.
  • Símbolos desproporcionais (ex.: \(\int\) pequeno, frações gigantes)

A Motivação

  • Equações sempre perfeitas (mesmo em 50 páginas).
  • Numeração automática e sem erros.
  • Aceito pelas principais revistas científicas.

Objetivo da aula

Na aula de hoje aprenderemos a criar:

  • O ambiente matemático
  • Exponentes e índices
  • Frações e raízes
  • Somatórios e integrais
  • Formatação de espaçamento e pontos
  • Teoremas
  • Símbolos matemáticos
  • Funções matemáticas
  • Fórmulas com til, barra, chapéu, etc.

O Ambiente Matemático no

O Ambiente Matemático

  • No LaTeX, as fórmulas matemáticas são inseridas no arquivo fonte por meio de comandos específicos.

  • É importante informar ao LaTeX quando cmeça e termina uma fórmula para que o processamento seja feito corretamente.

  • As fórmulas podem ocorrer inline, ou seja, incorporadas em uma linha de texto, como por exemplo \(ax^2 + bx + c = 0\).

  • Também é possível destacar as fórmulas do texto principal, apresentando-as em uma linha separada, como:

    \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

O Ambiente Matemático

  • No LaTeX, o modo matemático é iniciado e terminado com o uso do cifrão ($) no meio do texto.

  • Por exemplo, \(ax^2+bx+c=0\) pode ser produzida com $ax^2+bx+c=0$.

  • Quando as fórmulas são destacadas do texto principal, pode-se usar

    • $$ antes e depois da equação, ou
    • \[ para iniciar e \] para terminar o modo matemático.

  • A segunda fórmula no slide anterior foi obtida com:

$$ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
  • Para numerar as fórmulas destacadas, é possível utilizar o ambiente equation da seguinte forma:
\begin{equation}
  x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{equation}

O Ambiente Matemático

  • Ao digitar espaços dentro das fórmulas, eles são ignorados pelo LaTeX. Para adicionar espaçamento, pode-se utilizar ~ ou \quad.

  • Dica: se quiser dar espaço negativo, use \!.

  • Os símbolos \[ +\quad -\quad =\quad <\quad >\quad /\quad :\quad !\quad [\quad ]\quad (\quad )\quad | \] podem ser digitados diretamente do teclado.

  • Exemplo: \(|x|<a\) pode ser digitado diretamente como $|x|<a$.

  • As chaves “{}” servem para agrupar logicamente partes da fórmula, mas elas não são impressas diretamente.

    • Se você deseja incluir chaves em uma fórmula, deve-se utilizar \{ e \} para que sejam interpretadas como parte da fórmula.

Expoentes e Índices

  • O LaTeX facilita a produção de combinações de expoentes e índices com o tamanho correto.
  • O caractere ^ indica um expoente e _ indica um índice.
  • Exemplo: \[x^2 \quad a_n \quad x_i^2 \quad x^2_i \quad x^{2n} \quad x^{y^2} \quad x^{y_1}\] é obtido com o código
$$
  x^2 \quad a_n \quad x_i^2 \quad x^2_i \quad x^{2n} \quad x^{y^2}
  \quad x^{y_1}
$$
  • Observe que a ordem dos índices e expoentes não importa quando eles ocorrem juntos. Além disso, quando o índice ou expoente possui mais de um caractere, eles devem ser colocados entre chaves.

Atividade

Reproduza no LaTeX o texto abaixo:

Seja \(X\) com distribuição \(U(a,b)\). A função de densidade de probabilidade (PDF) de \(X\) é dada por \[ f(x) = 1/(b-a), \] para \(a< x < b\). A esperança, \(E(X)\), e a variância, \(V(X)\), são respectivamente dadas por: \[ E(X) = (a + b)/2 \quad \text{e} \quad V(X) = (b - a)^2/12. \]

Frações e Raízes

  • Frações simples podem ser escritas utilizando o caractere /.

    • Por exemplo: $(a+b)/2$, que resulta em \((a + b)/2\).

  • Para frações mais complexas, você pode usar o comando \frac{numerador}{denominador}.

    • Por exemplo: $\frac{a+b}{2}$.

  • Para representar raízes, utilize o comando\sqrt[n]{radicando}.

    • Por exemplo: $\sqrt[3]{8}=2$ produz \(\sqrt[3]{8}=2\).

  • Se o argumento opcional [n] for omitido, a raiz quadrada é gerada. Exemplo: $\sqrt{4}=2$ produz \(\sqrt{4}=2\).

  • O tamanho e o comprimento do radical são automaticamente ajustados de acordo com o tamanho do radicando.

Atividade

Reproduza no LaTeX o texto abaixo:

Seja \(X\) com distribuição \(U(a,b)\). A função de densidade de probabilidade (PDF) de \(X\) é dada por \[ \frac{1}{b-a}, \] para \(a< x < b\). A esperança, \(E(X)\), e a variância, \(V(X)\), são respectivamente dadas por: \[ E(X) = \frac{a + b}{2} \quad \text{e} \quad V(X) = \frac{(b - a)^2}{12}. \]

Somatórios e Integrais

  • Os somatórios e as integrais são operações fundamentais na matemática, frequentemente representados por meio dos comandos \sum e \int. Exemplos:

    • $\sum_{i=1}^n a_i$ produz \(\sum_{i=1}^n a_i\).
    • Podemos destacar um somatório com o uso do comando \limits, da seguinte forma: \sum\limits_{i=1}^n a_i$ produz \(\sum\limits_{i=1}^n a_i\).

  • Da mesma forma, podemos expressar uma integral:

    • $\int_a^b f(x) dx$ produz \(\int_a^b f(x) dx\).
    • $\int\limits_a^b f(x) dx$ produz \(\int\limits_a^b f(x) dx\).

Atividade

Reproduza no LaTeX o texto abaixo:

A função de densidade de probabilidade (pdf) da distribuição exponencial pode ser expressa como: \[ f(x) = a e^{-a x}, \] para \(x\) maior ou igual a zero. A probabilidade de \(X<b\) é calculada como \[ P(X <b) = \int_{0}^{b} a e^{-a x} dx. \]

Coeficientes Binomiais

  • Os coeficientes binomiais são obtidos com o comando \choose ou com \binom{}{}.

  • Exemplo:

    • ${a\choose b}$ produz \({a\choose b}\)
    • $\binom{a}{b}$ produz \(\binom{a}{b}\)

Atividade

Reproduza no LaTeX o texto abaixo:

Seja \(X\) com distribuição Binomial(\(n,p\)). Para calcularmos a probabilidade de \(X=k\), usamos \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}, \] em que \({n \choose k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}.\)

Equações Numeradas

  • Para numerar e referenciar equações no LaTeX, usamos o ambiente equation com o comando \label{}.
  • O \label{} atribui uma “etiqueta” à equação que pode ser referenciada em qualquer parte do texto.
  • O \ref{} mostra apenas o número da equação.
  • O \eqref{} mostra o número da equação entre parênteses, como é comum em textos científicos.
  • Exemplo:
A equação de uma reta é dada por:
\begin{equation}
  y = ax + b
  \label{eq:reta}
\end{equation}

Como visto na Equação \eqref{eq:reta}...

Atividade

Reproduza no LaTeX o texto abaixo:

A fórmula de Bhaskara resolve equações do tipo \(ax^2 + bx + c = 0\). A solução é dada por: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \qquad(1)\] Veja que a Equação (1) depende dos coeficientes \(a\), \(b\) e \(c\).

Formatação de Espaçamento e Pontos

  • Para inserir três pontos horizontais, use os comandos \ldots ou \cdots. Exemplos:

    • $a_1+\cdots+a_n$ produz \(a_1+\cdots+a_n\)
    • $x_1,\ldots,x_n$ produz \(x_1,\ldots,x_n\)

  • Para inserir três pontos verticais, utilize o comando \vdots, que produz \(\vdots\)

  • Para usar um único ponto use \cdot. Exemplo:

    • $x \cdot y$ produz \(x \cdot y\)

Formatação de Espaçamento e Pontos

  • O comando \quad produz um espaço médio.

  • O comando \qquad produz um espaço maior

  • O comando \, dá um pequeno espaço.

  • O comando \: dá um espaço médio.

  • O comando \; dá um espaço grande.

  • O comando \! dá um espaço negativo (backspace).

  • Se você precisar incluir texto no meio das fórmulas matemáticas, o comando \mbox{texto} ou \text{texto} pode ser usado. Exemplo:

  • $IMC = \frac{\text{altura}}{\text{peso}^2}$ produz \(IMC = \frac{\text{altura}}{\text{peso}^2}\)

Atividade

Reproduza no LaTeX:

\[ x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\quad\mbox{e}\quad x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \]

Teoremas

  • Um texto matemático frequentemente inclui teoremas, proposições e outros tipos de estruturas. O LaTeX oferece um comando que permite a definição de um ambiente específico para essas estruturas.

  • Para criar um novo ambiente, é necessário usar o comando no preâmbulo \newtheorem{ambiente}{título}[numeração].

    • ambiente é o nome escolhido para o novo ambiente;
    • título é a denominação que aparecerá, como teorema, lei, axioma, etc.;
      • numeração é a sequência da numeração que o ambiente irá seguir, como chapter, section, etc.

  • Após a declaração do ambiente, é possível utilizá-lo para escrever o texto desejado.

\begin{ambiente}[nome do teorema]
  texto
\end{ambiente}

Exemplo

\documentclass{report}
            
\newtheorem{teo}{Teorema}[section]
            
\begin{document}
                
  \begin{teo}[Pitágoras]
      Em todo triângulo retângulo o quadrado do comprimento da
      hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos comprimentos
      dos catetos.
    \end{teo}
            
\end{document}

Teoremas

Outros exemplos:

  • \newtheorem{teo}{Teorema}[section]
  • \newtheorem{lema}[teo]{Lema}
  • \newtheorem{cor}[teo]{Corolário}
  • \newtheorem{prop}[teo]{Proposição}

O Pacote amsthm

  • O pacote amsthm da American Mathematical Society oferece recursos adicionais para escrever textos matemáticos.
  • Por exemplo, para as demonstrações, pode-se utilizar o ambiente proof, que é utilizado da seguinte forma:
\begin{proof}
  Para demonstrar o Teorema de Pitágoras\ldots
\end{proof}

produz

Demonstração.
Para demonstrar o Teorema de Pitágoras… □

Símbolos

Símbolos

Símbolos

Símbolos

Símbolos

Os símbolos que existem em dois tamanhos podem ser acrescentados limites inferiores e superiores. Exemplos:

  • $$\bigcup_{i=0}^n A_i$$ produz \[\bigcup_{i=0}^n A_i\]
  • $$\int\limits_{-\infty}^\infty f(t)dt$$ produz \[\int\limits_{-\infty}^\infty f(t)dt\]

Funções Matemáticas

  • Ao invés de escrever variáveis e funções matemáticas em texto normal, é recomendado utilizar formatação matemática para destacá-las.

    • Incorreto: $cos x$ produz \(cos x\)
      • Correto: $\cos x$ produz \(\cos x\)

  • É recomendado usar os comandos LaTeX para os nomes de funções pré-definidas:

  • \arccos
  • \arctan
  • \cos
  • \cot
  • \coth
  • \csc
  • \det
  • \exp
  • \lim
  • \ln
  • \log
  • \max
  • \min
  • \sec
  • \tan
  • \tanh
  • $\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{x}$ produz \(\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{x}\)

Funções Matemáticas

  • Para definir nomes personalizados para algumas funções, é necessário defini-los no preâmbulo do arquivo.
  • Exemplo:
\documentclass{report}
                
\usepackage{amsmath}
                
\DeclareMathOperator{\sen}{sen}
                
\begin{document}
  $$
    \lim_{x\to 0}\frac{\sen x}{x}
  $$
\end{document}

produz \[\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}\, x}{x}\]

Fórmulas com Til, Barra, Chapéu, etc.

Existem diversos comandos no LaTeX para adicionar diferentes tipos de marcações em cima ou embaixo de letras ou fórmulas.

  • Para colocar uma barra em cima ou embaixo de uma letra ou fórmula, podemos utilizar os comandos \overline{formula} e \underline{formula}.

    • $\overline{X}^2$ produz \(\overline{X}^2\)
    • $\underline{bc}$ produz \(\underline{bc}\)

  • Para uma barra pequena apenas em cima de uma letra, podemos usar o comando \bar{letra}.

    • $\bar{X}$ produz \(\bar{X}\)

Fórmulas com Til, Barra, Chapéu, etc.

  • Para colocar chaves em cima ou embaixo de fórmulas, utilizamos os comandos \overbrace{formula} e \underbrace{formula}.

    • $$\overbrace{x_1 + \underbrace{x_2 + \ldots + x_{n-1}}_{n-2} + x_n}^n$$ produz \[\overbrace{x_1 + \underbrace{x_2 + \ldots + x_{n-1}}_{n-2} + x_n}^n\]

  • Para adicionar uma seta em cima de uma letra, usamos o comando \vec{letra}

    • $\vec{v}$ produz \(\vec{v}\)

Fórmulas com Til, Barra, Chapéu, etc.

  • É possível colocar setas sobre duas ou mais letras utilizando o comando \stackrel{\longrightarrow}{letras}.

    • $V = \stackrel{\longrightarrow}{AB}$$ ~ produz \(V = \stackrel{\longrightarrow}{AB}\)

  • Para adicionar acentos circunflexos e tis sobre letras, usamos os comandos \hat, \widehat, \tilde e \widetilde.

    • $\hat{\mu}$ produz \(\hat{\mu}\)
      • $\widehat{\mu}$ produz \(\widehat{\mu}\)
      • $\tilde{ABC}$ produz \(\tilde{ABC}\)
      • $\widetilde{ABC}$ produz \(\widetilde{ABC}\)

Atividade

Reproduza no LaTeX o texto abaixo:

Seja \(X\) uma v.a. discreta que assume valores em \(R_x = \{x_1 , x_2 , \ldots, x_n , \ldots\}\). A cada possível resultado \(x_i\) associamos a um número \[ p(x_i) = P(X(\omega_i) = x_i), \omega_i \in \Omega \text{ e } x_i \in R_x \] dita probabilidade de \(x_i\). A função \(p(x)\) é definida como função massa de probabilidade de \(X\) (f.m.p ou f.p de \(X\)).

As probabilidades \(p(x_i)\) devem satisfazer as seguintes condições:

1. \(p(x_i) \geq 0, \forall x_i \in R_x\),
2. \(\sum\limits_{i=1}^\infty p(x_i) = 1\).

Atividade

Reproduza no LaTeX o texto abaixo:

Seja \(X\) uma v.a. contínua que assume valores em \(R_x\). A função \(f_X(x)\) é a função densidade de probabilidade (f.d.p.) para \(X\), se satisfaz as seguintes propriedades:

1. \(f_X(x) \geq 0, \forall x \in R_x\),
2. \(\int\limits_{R_x} f_X(x)dx = 1\) ou \(\int\limits_{-\infty}^\infty f_X(x)dx = 1\),
3. \(P(a<X<b) = \int\limits_a^b f_X(x)dx, ~\forall a,b \in R_x\).

Ganhos da aula

  • Domínio do ambiente matemático no LaTeX.

  • Criação de equações inline e destacadas, com numeração automática e referências cruzadas.

  • Criação de elementos matemáticos complexos e formatação avançada do modo matemático.

Material Extra

Aprofunde o que vimos em aula com esse link:

Site para detectar símbolos do LaTeX:

Atividade extraclasse

Reproduza todas as atividades da aula.

Fim