Como gerar variáveis aleatórias contínuas?

O Método da Transformação Inversa e o Método da Rejeição

ESTAT0090 – Estatística Computacional
Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br

Cenário

Imagine que você está trabalhando com uma nova distribuição de probabilidade contínua. Como ela é muito recente, ainda não existem funções de simulação disponíveis em bibliotecas ou pacotes de programação. Para conseguir validar seus modelos, você precisa desenvolver do zero o código para gerar dados aleatórios e realizar suas simulações.

Objetivos da aula

Nesta aula, aprenderemos a gerar ocorrências de variáveis aleatórias contínuas usando

  • o Método da Transformação Inversa;
  • o Método da Aceitação-Rejeição.

Método da transformação inversa para variáveis contínuas

  • O método da transformada inversa é adequado para geração de amostras de uma variável aleatória contínua com domínio em \(\mathbb{R}\).
  • Ele pode ser usado em distribuições discretas, mas não é muito útil.
  • Para usar o método, basta que
    • A variável contínua \(X\) tenha função de distribuição \(F(x)\) e
    • A inversa \(F^{-1}(x)\) exista.

Método da transformação inversa para variáveis contínuas

Ilustração:

Método da transformação inversa para variáveis contínuas

Algoritmo

Passo 1: Gere \(u \sim\) Uniforme(\(0,1\));

Passo 2: Retorne \(X=F^{-1}(U)\).

Exemplo 11.1

Considere a distribuição Exponencial(\(\lambda\)) com

  • \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}, ~x\geq 0,\)
  • \(F(x) = 1-e^{-\lambda x}, ~x\geq 0\).
  1. Determine \(F^{-1}(u)\).
  2. Escreva uma função no R que gere \(n\) ocorrências da Exponencial ao fornecer o valor de \(\lambda\). Faça um histograma.

Exemplo 11.2

Considere a distribuição de Rayleigh com parâmetro \(\sigma>0\), isto é, \[ f(x) = \frac{x}{\sigma^2} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}, \quad x\geq 0. \]

  1. Determine a distribuição de \(X\), ou seja, \(F(x)\).
  2. Determine \(F^{-1}(u)\).
  3. Escreva uma função no R que gere \(n\) ocorrências da Rayleigh ao fornecer o valor de \(\sigma\). Faça um histograma.

Exemplo 11.3

Seja \(X\) com densidade \(f(x) = 3x^2\), \(0<x<1\).

  1. Determine \(F(x)\).
  2. Determine \(F^{-1}(u)\).
  3. Escreva uma função no R que gere \(n\) ocorrências de \(X\). Faça um histograma.

Método da Aceitação-Rejeição

  • O método da aceitação-rejeição é um método mais avançado e popular para geração de números aleatórios.
  • Ele consiste em gerar amostras de uma distribuição mais simples e então corrigir as probabiildades rejeitando alguns valores.
  • Vejamos o algoritmo.

Método da Aceitação-Rejeição

  • Suponha que você quer gerar valores de uma variável aleatória com distribuição \(f(x)\) a partir de uma distribuição mais simples \(g(y)\) com mesmo domínio que \(f(x)\).
  • Obtenha \(c\) tal que \(\frac{f(y)}{g(y)}\leq c\). Ou seja,
    • Derive \(\frac{f(y)}{g(y)}\) e obtenha o ponto \(\widehat{y}\) que maximiza a função.
    • Faça \(c = \frac{f(\widehat{y})}{g(\widehat{y})}\).

Método da Aceitação-Rejeição

Algoritmo

Passo 1: Gere um valor \(y \sim g\);

Passo 2: Gere \(u \sim\) Uniforme(\(0,1\));

Passo 3: Se \(u \leq \frac{f(y)}{c g(y)}\), faça \(x=y\);

Passo 4: Caso contrário, retorne ao Passo 1.

Exemplo 11.4

Simule uma distribuição Beta(\(\alpha=2, \beta=2\)) pelo método da rejeição usando a distribuiçao \(U(0,1)\) e escreva o código em R.

  • A densidade da Beta(\(\alpha, \beta\)) é \[ f(x) = \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}, \quad 0<x<1,~ \alpha,\beta>0, \] onde

    • \(\Gamma(\cdot)\) é a função gama.
    • Se \(z\) é inteiro, \(\Gamma(z)=(z-1)!\)

  • A densidade de \(X\sim U(a,b)\) é \(f(x) = \frac{1}{b-a}\), \(a<x<b\).

Exemplo 11.5

Gere ocorrências da densidade \[f(y) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}, \quad y\geq 0,\] a partir da distribuição Exponencial(\(\lambda\)) com \[f(y)=\lambda e^{-\lambda y}, \quad y\geq0.\]

Exemplo 11.6

Gere amostras da Normal(0,1) usando

  1. \(U(-10, 10)\).
  2. Cauchy padrão.


  • \(Y\sim N(0,1): ~ f(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{y^2}{2}\right\}\), \(-\infty<y<\infty\)
  • \(Y\sim U(-10,10): ~ f(y) = \frac{1}{20}\), \(-10<y<10\)
  • \(Y \sim Cauchy(1,0): ~ f(y) = \frac{1}{\pi(1+y^2)}\), \(-\infty<y<\infty\)

Ganho da aula

  • Compreensão da geração de números aleatórios contínuos usando o método da transformação inversa e o método da aceitação-rejeição.

Fim

Esta aula foi baseada no livro Simulation (Sixth Edition), de Sheldon M. Ross, 2023.