# Função que define o valor de lambda de acordo com a hora
lambdat <- function(t){
t <- trunc(t)
lambda <- ifelse(t < 1, 1,
ifelse(t < 2, 2,
ifelse(t < 3, 3,
ifelse(t < 4, 4,
ifelse(t < 5, 5, 10)))))
return(lambda)
}Como simular filas reais?
Geração de um Processo de Poisson Não Homogêneo
ESTAT0090 – Estatística Computacional
Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br
Cenário
Você precisa simular a chegada de clientes em uma cafeteria popular, onde o fluxo de clientes não é constante ao longo do dia. De manhã cedo, quando as pessoas pegam café para o trabalho, há um ritmo; no horário de almoço, há um pico; no meio da tarde, é mais tranquilo; e, no final da tarde, antes do fechamento, há outro aumento. Você sabe que as chegadas dos clientes seguem um Processo de Poisson, mas que a taxa de chegada varia conforme o horário do dia.
Objetivos da aula
- Compreender o conceito e a necessidade de um Processo de Poisson Não Homogêneo (PPNH) para modelar taxas de chegada que variam no tempo.
- Entender a lógica por trás do Método de Thinning (ou Afinamento) para simular um PPNH.
- Aplicar o algoritmo do Método de Thinning para gerar eventos de um PPNH em um período de tempo definido.
- Identificar a taxa máxima (λ) e definir a função de intensidade λ(t) para a simulação de um PPNH a partir de dados ou de um cenário.
- Simular o fluxo de clientes em um cenário prático.
Processo de Poisson Não Homogêneo (PPNH)
Método Thinning (ou Afinamento)
- Encontre uma taxa “máxima”: Sabendo que a taxa de chegada de clientes \(\lambda(t)\) varia ao longo de todo o período \(T\), determine a maior taxa \(\lambda\).
- Matematicamente: \(\lambda(t) \leq \lambda\) para todo \(t\leq T\).
- Gere um Processo de Poisson Homogêneo “exagerado”: Gere um Processo de Poisson “normal” (homogêneo) com essa taxa “exagerada” \(\lambda\). Esse processo vai gerar muitos eventos, alguns que você quer e outros que não.
- Afinamento (ou seleção por amostragem): Para cada evento que ocorre nesse Processo de Poisson homogêneo na taxa \(\lambda\), você joga uma “moeda viciada”. A chance de esse evento ser “aceito” e fazer parte do seu PPNH original é dada pela razão \(\frac{\lambda(t)}{\lambda}\) no momento \(t\) em que ele ocorreu.
- Se \(\lambda(t)\) for alta naquele \(t\), a chance de aceitar é grande.
- Se \(\lambda(t)\) for baixa, a chance é menor.
- É como se você estivesse selecionando os eventos que correspondem à sua taxa de intensidade real \(\lambda(t)\).
Método Thinning (ou Afinamento)
Algoritmo
Passo 1: Inicialize.
t=0(tempo atual começa em zero)I=0(contador de eventos começa em zero)
Passo 2: Gere o tempo entre eventos usando a distribuição Exponencial, considerando um processo homogêneo “exagerado”.
- Se
t>T, significa que o próximo evento cairia depois do nosso tempo de simulação desejado. Então, paramos.
Passo 3: Gere \(u \sim U(0,1)\).
Método Thinning (ou Afinamento)
Algoritmo (continuação)
Passo 4: Se \(u\leq \frac{\lambda(t)}{\lambda}\), então o evento é aceito.
- Incrementamos o contador de eventos:
I = I + 1. - Armazenamos o tempo do evento:
S[I] = t. (ondeS[I]é o tempo do
\(I\)-ésimo evento)
Passo 5: Volte para o Passo 2 para gerar o próximo evento do processo homogêneo.
Exemplo 14.1
Suponha que uma cafeteria abre das 08h às 20h, com as seguintes taxas por hora:
- 08h-09h (primeira hora): 1 cliente por hora
- 09h-10h (segunda hora): 2 clientes por hora
- 10h-11h (terceira hora): 3 clientes por hora
- 11h-12h (quarta hora): 4 clientes por hora
- 12h-13h (quinta hora): 5 clientes por hora
- 13h-20h (demais horas): 10 clientes por hora
Simule o fluxo de clientes em um dia.
Exemplo 14.1
Exemplo 14.1
# Função que simula o processo de Poisson
ppnh <- function(lambda_t, lambda, T = 12){ # T = 12: loja 12h aberta
t <- 0; I <- 0; S <- vector()
repeat{
t <- t + rexp(1, lambda) # incrementando o tempo até nova chegada
if(t > T) # se o tempo t é maior que o tempo total T
break # sai do laço
u <- runif(1)
if(u <= lambda_t(t)/lambda){
I <- I + 1 # incrementa o contador de eventos
S[I] <- t # registra o tempo do evento
}
}
cat("Número de eventos:", I,"\n")
return(S)
}Exemplo 14.1
- Como a maior taxa é 10, vamos usar
lambda = 10.
set.seed(1234)
tempos1 <- ppnh(lambda_t = lambdat, lambda = 10)
tempos2 <- ppnh(lambda_t = lambdat, lambda = 10)
tempos3 <- ppnh(lambda_t = lambdat, lambda = 10)
# convertendo o tempo para as horas que a loja está aberta
tempos1 <- tempos1 + 8
tempos2 <- tempos2 + 8
tempos3 <- tempos3 + 8
par(mar=c(5,0,0,0))
plot(c(tempos1, tempos2, tempos3),
c(rep(2, length(tempos1)), rep(1, length(tempos2)),
rep(0, length(tempos3))), axes = F, ylim = c(-1, 3),
xlim = c(8, 20), ylab = "",
xlab = "Tempo de ocorrência", pch = 16)
segments(x0 = 8, y0 = 2, x1 = 20, y1 = 2, col = 4)
segments(x0 = 8, y0 = 1, x1 = 20, y1 = 1, col = 4)
segments(x0 = 8, y0 = 0, x1 = 20, y1 = 0, col = 4)
axis(1, at = seq(8,20,2))Exemplo 14.1
Número de eventos: 92 Número de eventos: 73 Número de eventos: 76 
Eficiência do Thinning (ou Afinamento)
- Se os valores de \(\lambda(t)\) estiverem próximos de \(\lambda\) durante todo o intervalo, o algoritmo é mais eficiente.
- Isso porque se \(\lambda\) for muito maior que a maioria dos valores de \(\lambda(t)\), você vai gerar muitos eventos do processo homogêneo que serão “rejeitados” no Passo 4.
- Existem alternativas a esse algoritmo que visam diminuir o número de eventos rejeitados e diminuir o custo computacional.
Exercício 14.1
O arquivo registros.csv contém os horários exatos em que os clientes de uma agência bancária pegaram uma senha para atendimento no caixa em uma segunda-feira típica. Use os registros para simular o fluxo de entrada dos clientes em uma segunda-feira típica.
Ganho da aula
- Capacidade de simular situações do dia a dia onde a demanda varia.
Fim
Aula baseada no material “Métodos Computacionais Aplicados à Estatística Implementação no Software R” de Cristiano de Carvalho Santos.
