Aplicações do Método Bootstrap
ESTAT0090 – Estatística Computacional
Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br
Bootstrap
A grande riqueza em se utilizar o bootstrap é em situações como:
- Você não tem certeza ou uma premissa forte sobre a distribuição normal da população.
- Você gostaria de estimar intervalos de confiança para métricas mais complexas que não possuem distribuição de probabilidade conhecidas ou facilmente definidas, como por exemplo, \(R^2\) de uma regressão ou a mediana.
Exemplo 18.1
Suponha que um fazendeiro gerencia uma plantação de árvores com o objetivo de vendê-las futuramente para a produção de madeira. Sua plantação possui 10.000 árvores, e você está interessado em estimar o diâmetro médio dessas árvores, o que é importante para determinar seu valor de mercado e o momento certo para a colheita.
No entanto, fazer um inventário completo de todas as árvores seria caro e demorado. Então, ele te contrata para usar métodos estatísticos para estimar a média dos diâmetros com base em uma amostra de tamanho 100.
O que se deve fazer nessa situação:
- Estimar o diâmetro médio e obter um intervalo de confiança.
- Vamos obter esse IC pelo método tradicional e usando bootstrap.
Exemplo 18.2
Vamos aproveitar a amostra obtida no Exemplo 18.1 e obter um intervalo de confiança bootstrap para a mediana.
Exemplo 18.3
Considere os dados datasets::mtcars. Vamos obter um intervalo de confiança bootstrap de 95% para o \(R^2\) na relação de regressão linear da variável de milhas por galão (mpg) com o peso do carro (wt) e sua cilindrada (disp).
Exemplo 18.4
Agora considere duas áreas distintas em uma fazenda e se deseja comparar a produtividade (diâmetro das árvores) das plantações. Para isso o diâmetro de 30 árvores foi coletado em cada área.
O que deve ser feito nessa situação:
- Hipóteses:
- \(H_0\): as produtividades das duas áreas são iguais
- \(H_1\): as produtividades das duas áreas são diferentes
- \(H_0\): as produtividades das duas áreas são iguais
- Fazer um teste t.
Teste de comparação de médias bootstrap
- Calcule as médias amostrais \(\overline{X}\) e \(\overline{Y}\)
- Réplicas bootstrap: Repita \(B\) vezes
- Obtenha amostras artificiais \(x_1^*, \ldots, x^*_n\) e \(y_1^*, \ldots, y^*_n\)
- Calcule a diferença das médias artificiais \(\overline{x}^* - \overline{y}^*\)
- Obtenha amostras artificiais \(x_1^*, \ldots, x^*_n\) e \(y_1^*, \ldots, y^*_n\)
- Calcule o p-valor:
- Se \(H_1: \mu_x<\mu_y \Rightarrow\) p-valor \(= \frac{1+\#\{\overline{x}^* - \overline{y}^* < 0\}}{1+B}\)
- Se \(H_1: \mu_x>\mu_y \Rightarrow\) p-valor \(= \frac{1+\#\{\overline{x}^* - \overline{y}^* > 0\}}{1+B}\)
- Se \(H_1: \mu_x\neq\mu_y \Rightarrow\) p-valor \(= \frac{1+2\min\left[\#\{\overline{x}^* - \overline{y}^* < 0\}, \#\{\overline{x}^* - \overline{y}^* > 0\}\right]}{1+B}\)
- Se \(H_1: \mu_x<\mu_y \Rightarrow\) p-valor \(= \frac{1+\#\{\overline{x}^* - \overline{y}^* < 0\}}{1+B}\)
Exemplo 18.5
Em 1882, Simon Newcomb realizou um experimento de medir a velocidade da luz. Ele mediu o tempo que a luz levou para ir de um ponto a outro. Os dados fornecidos confirmam a teoria de que o tempo que a luz leva é de 33,02 milionésimos de segundos? Considere um nível de significância de 5%.
Fim
