Probabilidade

ESTAT0072 – Probabilidade I

Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br

O que é Probabilidade?

  • A Probabilidade é a linguagem da incerteza. Em Estatística, estamos fundamentalmente interessados em quantificar e modelar a incerteza associada a fenômenos aleatórios.

  • Ela nos permite:

    • Prever a frequência de ocorrência de eventos;
    • Tomar decisões informadas sob condições de risco;
    • Entender a variabilidade em dados e processos.

Mas, o que é um Fenômeno Aleatório?

  • É um experimento ou observação cujo resultado não pode ser previsto com certeza absoluta, mesmo que as condições iniciais sejam idênticas.

Exemplos:

  • Classificar itens que saem de uma linha de montagem como defeituosos ou não defeituosos. Qual a chance de um lote ter mais de X% de defeitos?
  • Estimar a probabilidade de um paciente responder a um novo tratamento médico.
  • Número de acidentes em uma cruzamento para justificar a instalação de um semáforo.

Definição 4.1: Experimento

  • Qualquer processo que gera um conjunto de dados ou resultados.
  • Pense nele como uma ação ou observação que podemos repetir (ou imaginar repetir) sob as mesmas condições.

Exemplos:

  • Lançar uma moeda (observar face superior).
  • Sortear uma carta de um baralho.
  • Medir a altura de uma pessoa.
  • Observar o número de e-mails de spam recebidos em um dia.

Definição 4.2: Espaço Amostral (\(\Omega\))

  • É o conjunto de TODOS os resultados possíveis de um experimento.
  • Representado pelo símbolo \(\Omega\) (Ômega maiúscula).
  • Cada resultado individual dentro do espaço amostral é chamado de elemento ou ponto amostral.

Exemplos

  • Experimento: Lançar uma moeda.
    • Espaço Amostral (\(\Omega\)): \(\{Cara, Coroa\}\)
    • Pontos Amostrais: Cara, Coroa
  • Experimento: Classificar um produto (defeituoso/não defeituoso).
    • Espaço Amostral (\(\Omega\)): \(\{\text{Defeituoso}, \text{Não Defeituoso}\}\)
  • Experimento: Contar o número de carros que passam por um cruzamento em 1 minuto.
    • Espaço Amostral (\(\Omega\)): \(\{0, 1, 2, 3, \ldots\}\) (Infinitos, mas enumeráveis!)

Outro Exemplo

Considere o experimento de jogar um dado de seis faces e observar a face voltada para cima. O espaço amostral é \[ \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}. \]

Atenção! Mais de um espaço amostral pode ser usado para descrever o mesmo experimento.

  • Se estivermos interessados em saber se o número será par ou ímpar, o espaço amostral será simplesmente: \[ \Omega = \{\text{par, ímpar}\}. \]

Exemplo 4.1

Peças que saem de uma linha de produção são marcadas como defeituosa (D) e não defeituosa (N). As peças são inspecionadas e sua condição é registrada. Isto é feito até que duas peças defeituosas consecutivas sejam fabricadas ou que quatro peças tenham sido inspecionadas, aquilo que ocorrer primeiro. Descreva um espaço amostral para este experimento.

Definição 4.3: Evento

  • Um evento é um subconjunto do espaço amostral (\(\Omega\)).
    • Pense nele como uma coleção específica de um ou mais resultados de um experimento que nos interessa.
  • Denotamos um evento por uma letra maiúscula. Ex.: \(A\), \(B\), \(C\), etc.

Exemplo

Dado um espaço amostral \(\Omega = \{t|t > 0\}\), onde t é o tempo em minutos que você espera o ônibus no ponto, então o evento A, em que o ônibus chega antes de 10 minutos é \[A = \{t|0 \leq t < 10\}.\]

Como um evento é um subconjunto do espaço amostral, operações sobre conjuntos podem ser utilizadas:

  1. \(A\cup B\): ocorre \(A\) ou \(B\);
  2. \(A\cap B\): ocorre A e B (simultaneamente);
  3. \(A^c\) : não ocorre A;
  4. \(\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i\): ao menos um \(A_i\) ocorre (vale para \(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_i\));
  5. \(\bigcap\limits_{i=1}^{n}A_i\): todos os \(A_i\) ocorrem (vale para \(\bigcap\limits_{i=1}^{\infty}A_i\)).

Definição 4.4: Eventos Mutuamente Excludentes

  • Dois eventos \(A\) e \(B\) são denominados mutuamente excludentes se eles não puderem ocorrer juntos.

  • Isto é, \(A\cap B=\emptyset\).

Exemplo 4.3

Quais desses eventos são mutuamente excludentes?

  1. Um jogador de xadrez que dá um xeque-mate e perde o rei na mesma jogada.
  2. Um jogador de pôquer que tem um flush (todas as cartas do mesmo naipe) e três de um tipo na mesma mão de cinco cartas.
  3. Uma mãe que dá à luz uma menina e gêmeas no mesmo dia.
  4. Um time de futebol que perde o último jogo e ganha o Brasileirão.
  5. Um usuário tem sua conta bloqueada por tentativas de login e consegue acessar o sistema com sucesso no mesmo minuto.

Por que precisamos da Probabilidade?

  • Em experimentos aleatórios, a gente não sabe qual resultado específico vai acontecer quando o experimento é feito.
  • Ou seja, se \(A\) é um evento ligado a um experimento, não podemos ter certeza se \(A\) vai ocorrer ou não.
  • Por isso, fica muito importante tentar associar um número ao evento \(A\), que vai medir, de alguma forma, o quão provável é a ocorrência de \(A\).
  • Essa tarefa nos leva direto à teoria da probabilidade.

Definição 4.5: Frequência Relativa

  • Suponha que repetimos \(n\) vezes um experimento e sejam \(A\) e \(B\) dois eventos. Admitamos que sejam, respectivamente, \(n_A\) e \(n_B\) o número de vezes que o evento \(A\) e o evento \(B\) ocorram nas \(n\) repetições.

  • \(f_A = n_A/n\) é denominada frequência relativa do evento \(A\) nas \(n\) repetições do experimento.

Propriedades da Frequência Relativa

A frequência relativa \(f_A\) apresenta as seguintes propriedades:

  1. \(0\leq f_A \leq 1\): A frequência relativa de um evento sempre estará entre 0 e 1 (ou 0% e 100%).
  2. \(f_A = 1\) se, e somente se, \(A\) ocorrer em todas as \(n\) repetições: Se o evento acontecer todas as vezes, sua frequência relativa será 1.
  3. \(f_A = 0\) se, e somente se, \(A\) nunca ocorrer nas \(n\) repetições: Se o evento nunca acontecer, sua frequência relativa será 0.
  4. Se \(A\) e \(B\) forem mutuamente excludentes, \(f_{A\cup B} = f_A + f_B\): Se dois eventos não podem acontecer juntos, a frequência de um ou outro é a soma das frequências individuais.

Propriedades da Frequência Relativa

  1. Com base em \(n\) repetições do experimento, \(f_A\) “converge” em certo sentido probabilístico para \(P(A)\), quando \(n\rightarrow\infty\): Esta é a Lei dos Grandes Números em essência. Significa que, quanto mais vezes você repetir um experimento, mais a frequência relativa de um evento se aproximará de sua verdadeira probabilidade.

Definição 4.6: Probabilidade

Seja \(E\) um experimento. Seja \(\Omega\) o espaço amostral associado a \(E\). A cada evento \(A\) associaremos um número real representado por \(P(A)\) e denominado probabilidade de \(A\), que satisfaz às seguintes propriedades:

  • P1. \(0\leq P(A)\leq1\): A probabilidade de qualquer evento está sempre entre 0 (impossível) e 1 (certo).

  • P2. \(P(\Omega) = 1\): A probabilidade de que algum resultado do espaço amostral ocorra (ou seja, de que o experimento aconteça) é 1.

  • P3. Se \(A\) e \(B\) forem mutuamente excludentes, \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\): Se dois eventos não podem acontecer ao mesmo tempo, a probabilidade de que um ou outro ocorra é a soma das suas probabilidades individuais.

  • De P3, temos que \(P\left(\bigcup\limits_{i=1}^n A_i\right) = \sum\limits_{i=1}^n P(A_i).\) Esta é uma generalização importante da propriedade P3 para múltiplos eventos mutuamente excludentes.

  • P4. Se \(A_1,A_2,A_3,\ldots\) forem, dois a dois, eventos mutuamente excludentes, então \[ P\left(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum\limits_{i=1}^\infty P(A_i). \]

  • A escolha das propriedades da probabilidade apresentadas é obviamente sugerida pelas características da frequência relativa. Isso reforça a ideia de que a teoria da probabilidade formaliza o que observamos empiricamente ao repetir experimentos muitas vezes.

Resultados Decorrentes da Definição de \(P(A)\)

  • R1. \(P(\emptyset)=0\).

  • R2. \(P(A^c) = 1-P(A)\).

  • R3. \(P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).

  • R4. \(P(A\cup B\cup C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)\)
    \(\qquad\qquad\qquad~~\,-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B \cap C)\).

  • R5. \(A\subset B \Rightarrow P(A)\leq P(B)\).

Exemplo 4.4

Suponha que \(A\), \(B\) e \(C\) sejam eventos tais que

  • \(P(A) = P(B) = P(C) = 1/4\),
  • \(P(A \cap B) = P(C \cap B) = 0\) e
  • \(P(A \cap C) = 1/8\).

Calcule a probabilidade de que ao menos um dos eventos \(A\), \(B\) ou \(C\) ocorra.

Espaço Amostral Finito

  • Vamos caracterizar a probabilidade do evento \(A\), \(P(A)\).

  • Seja \(A=\{a\}\) um evento simples ou elementar (um único resultado possível).

  • A cada evento simples \(\{a_i\}\) associaremos um número \(p_i\) que satisfaz as seguintes condições:

    1. \(p_i>0, ~ i=1,2,\ldots,k\),
    2. \(p_1+p_2+\cdots+p_k=1\).

  • Supondo agora que \(A\) é constituído por \(r\) resultados, \(1\leq r \leq k\) (\(A = \{a_{j1}, a_{j2},\ldots, a_{jr}\}\), temos que: \[ P(A) = p_{j1} + p_{j2} + \cdots + p_{jr}. \]

Exemplo 4.5

Um dado é lançado e todos os resultados se supõem igualmente verossímeis. O evento \(A\) ocorrerá se, e somente se, um número maior do que 4 aparecer. Qual a probabilidade do evento \(A\)?

Exemplo 4.6

Uma moeda equilibrada é atirada duas vezes. Seja \(A\) o evento: “aparece uma cara”. Qual a probabilidade do evento \(A\)?

Resultados Igualmente Verossímeis

  • Suponha que temos um espaço amostral \(\Omega = \{a_1,a_2, \ldots, a_k\}\), com k resultados possíveis.

  • Se todos os resultados forem igualmente verossímeis (ou seja, têm a mesma chance de acontecer), então a probabilidade de cada resultado elementar \(a_i\) será \(p_i=1/k\).

  • Assim, para qualquer evento A formado por \(r\) resultados (ou seja, \(A\) tem \(r\) “casos favoráveis”), teremos: \[ P(A) = \frac{r}{k}.\]

Resultados Igualmente Verossímeis

  • Outra forma de expressar isso, e que é muito popular, é: \[P(A)=\frac{\text{número de casos favoráveis a }A}{\text{número total de casos}}.\]

  • Observação: Esta expressão só é válida se todos os resultados forem igualmente verossímeis. Se não forem, você deve usar a soma das probabilidades \(p_i\) individuais que vimos antes.

Exemplo 4.7

Imagine que, ao final de um evento na escola, 10 alunos com emblemas numerados de 1 a 10 são sorteados para receber prêmios. Três alunos são escolhidos ao acaso e convidados a se apresentar simultaneamente no palco. Os números de seus emblemas são anotados.

  1. Qual é a probabilidade de que o menor número de emblema sorteado seja 5?

  2. Qual é a probabilidade de que o maior número de emblema sorteado seja 5?

Exemplo 4.8

Suponha que os três dígitos 1, 2 e 3 sejam escritos em ordem aleatória. Qual a probabilidade de que ao menos um dígito ocupe seu próprio lugar?

Exemplo 4.9

Em um jogo de tabuleiro, você tem 10 fichas numeradas de 1 a 10 dentro de um saco. Você tira duas fichas, uma de cada vez e sem colocar a primeira de volta. Qual é a probabilidade de que a soma dos números das duas fichas seja exatamente 10?

Exemplo 4.10

Um lote de lâmpadas elétricas foi fabricado, contendo 10 lâmpadas perfeitas, 4 com pequenos defeitos (que ainda funcionam) e 2 com defeitos graves (que não funcionam). Se uma lâmpada é escolhida ao acaso para teste, qual é a probabilidade de que:

  1. Ela não tenha defeitos?

  2. Ela não tenha defeitos graves?

  3. Ela seja perfeita OU tenha defeitos graves?

Exemplo 4.11

Suponha que de \(N\) objetos, \(n\) sejam escolhidos ao acaso, com reposição. Qual será a probabilidade de que nenhum objeto seja escolhido mais do que uma vez? (Admita \(n < N\))

Exemplo 4.12

Você tem uma caixa cheia de etiquetas com números de 1 até n. Duas etiquetas são escolhidas ao acaso. Determine a probabilidade de que os números das etiquetas sejam inteiros consecutivos (como 3 e 4, ou 4 e 3) se:

  1. As etiquetas forem escolhidas uma após a outra, sem colocar a primeira de volta.

  2. As etiquetas forem escolhidas uma após a outra, colocando a primeira de volta.

Exemplo 4.13

Em uma rifa, um número é escolhido ao acaso dentre os números de 1 a 50. Qual será a probabilidade de que o número escolhido seja divisível por 6 ou por 8?

Exemplo 4.14

Dentre 6 números positivos e 8 negativos, escolhem-se ao acaso 4 números (sem reposição) e multiplicam-se esses números. Qual será a probabilidade de que o produto seja um número positivo?

Fim