Probabilidade Condicional e Regra da Multiplicação

ESTAT0072 – Probabilidade I

Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br

Exemplo 5.1

Você lança um dado comum de 6 faces e observa o número que aparece na face voltada para cima.

Considere estes dois eventos:

  • \(A\): “A face voltada para cima é um número par”
  • \(B\): “A face voltada para cima é um número maior que 4”

Qual é a probabilidade de que a face voltada para cima seja maior que 4, dado que sabemos que ela é um número par?

Definição 5.1: Probabilidade Condicional

  • A probabilidade de que um evento \(B\) ocorra, dado que o evento \(A\) já ocorreu, é definida como: \[ P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}, \] desde que \(P(A) > 0\).

  • \(P(B|A)\) se lê como probabilidade de \(B\) dado \(A\).

O que estamos buscando ao calcular \(P(B|A)\)?

  • Estamos tentando descobrir a probabilidade de estar em \(B\), sabendo que já estamos em \(A\).

Reduzindo o Espaço Amostral

  • Tradicionalmente, ao calcular probabilidades, consideramos todos os resultados possíveis no espaço amostral (\(\Omega\)).

  • No entanto, com a probabilidade condicional, a informação de que o evento \(A\) já ocorreu muda nosso universo de possibilidades.

  • Agora, nosso novo “espaço amostral” se torna o próprio evento \(A\). Não olhamos mais para \(\Omega\) inteiro, mas apenas para os resultados que estão dentro de \(A\).


Fonte: http://clubes.obmep.org.br/blog/sala-de-estudo-probabilidades-sala-3/

\(P(B | A)\) é uma Probabilidade

  • \(P(B | A)\) também é uma medida de probabilidade que respeita todos os axiomas de Kolmogorov:

    1. \(P(S | A) = 1\)
    2. \(P(B | A) \geq 0\)
    3. Se \(B_1\) e \(B_2\) são mutuamente excudentes, \(P(B_1 \cup B_2 | A) = P(B_1 | A) + P(B_2 | A)\).

  • Todas as regras que aprendemos na aula anterior (complementar, união, etc.) continuam valendo para probabilidade condicional.

Temos duas maneiras principais de calcular a probabilidade condicional \(P(B∣A)\):

  1. Abordagem Direta (Espaço Amostral Reduzido):

    • Consideramos diretamente a probabilidade de \(B\) dentro do novo e menor espaço amostral, que é o evento \(A\).

    • Pense: “Dos casos em que \(A\) acontece, quantos deles também fazem \(B\) acontecer?”

  2. Abordagem pela Definição (Fórmula):

    • Para usar essa abordagem, precisamos conhecer (ou conseguir calcular) a probabilidade da interseção de \(A\) e \(B\), \(P(A\cap B)\), e a probabilidade de \(A\), \(P(A)\).

Exemplo 5.2

Em uma pesquisa de opinião realizada com 800 indivíduos sobre a aceitação de uma nova política pública, os resultados foram tabulados por gênero da seguinte forma:

Categoria Mulheres Homens Total
Aprovam 250 190 440
Desaprovam 120 240 360
Total 370 430 800

Se uma pessoa é selecionada aleatoriamente dessa pesquisa e sabemos que ela aprovou a nova política pública, qual é a probabilidade de que essa pessoa seja um homem?

Exemplo 5.3

Em um estudo de mercado recente sobre os hábitos de consumo de conteúdo digital, observou-se que 40% dos participantes assinam serviços de streaming de filmes. Além disso, o estudo revelou que 25% dos participantes assinam serviços de streaming de filmes e também são consumidores frequentes de documentários. Se um participante é selecionado aleatoriamente e sabemos que ele assina serviços de streaming de filmes, qual é a probabilidade de que ele também seja um consumidor frequente de documentários?

Exemplo 5.4

Em uma pesquisa recente com estudantes universitários, foram levantados dados sobre o consumo de plataformas de streaming. Os resultados mostraram que 70% dos estudantes utilizam uma plataforma de streaming de vídeo, enquanto 50% utilizam uma plataforma de streaming de música. Além disso, verificou-se que 85% dos estudantes utilizam pelo menos uma dessas duas plataformas (seja de vídeo ou de música). Com base nessas informações, se um estudante é selecionado aleatoriamente e sabemos que ele utiliza uma plataforma de streaming de vídeo, qual é a probabilidade de que ele também utilize uma plataforma de streaming de música?

Agora vamos mudar um pouco…


Exemplo 5.5

Um lote contém 20 peças defeituosas e 80 não-defeituosas. Qual a probabilidade de escolhermos duas peças defeituosas:

  1. com reposição?

  2. sem reposição?

Regra da Multiplicação

  • Uma das consequências mais importantes da definição de probabilidade condicional é que podemos rearranjá-la: \[ P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} \Rightarrow P(A\cap B) = P(A)P(B|A). \]

  • Este resultado é conhecido como Regra da Multiplicação ou Teorema da Multiplicação para eventos quaisquer.

  • Lembre-se: Use esta regra quando o evento \(B\) é influenciado ou depende da ocorrência do evento \(A\).

    • No exemplo das peças, a probabilidade da segunda peça ser defeituosa depende se a primeira foi reposta ou não!

Exemplo 5.6

Em uma sala com 15 pessoas, há 6 homens e 9 mulheres. Duas pessoas são escolhidas aleatoriamente, uma após a outra, para receber um brinde. Qual é a probabilidade de que as duas sejam mulheres?

Regra da Multiplicação

  • A regra da multiplicação pode ser generalizada para mais de dois eventos da seguinte maneira: \[ \begin{aligned} &P(A_1\cap A_2\cap A_3\cap\cdots\cap A_n) =\\ &P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1\cap A_2)\cdots P(A_n|A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}). \end{aligned} \]

Exemplo 5.7

Três cartas são escolhidas em sucessão, sem reposição, de um baralho comum de 52 cartas. Determine a probabilidade do evento \(A_1 \cap A_2 \cap A_3\), onde:

  • \(A_1\): a primeira carta escolhida é um ás vermelho.
  • \(A_2\): a segunda carta escolhida é um ás ou um valete.
  • \(A_3\): a terceira carta escolhida é maior que 3, mas menor que 7 (ou seja, 4, 5 ou 6).

Resumo

Conceito Intuição Fórmula
Probabilidade Condicional Probabilidade de \(B\) ocorrer sabendo que \(A\) já aconteceu. \(P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
Regra da Multiplicação Probabilidade da interseção (ocorrência sucessiva de eventos). \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)\)

Fim