Teorema da Probabilidade Total
ESTAT0072 – Probabilidade I
Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br
Até aqui empregamos o conceito de probabilidade condicional a fim de avaliarmos a probabilidade de ocorrência conjunta de dois ou mais eventos.
Poderemos aplicar esse conceito em outra maneira de calcular a probabilidade de um evento simples \(B\).
Definição 6.1: Partição do espaço amostral
Dizemos que os eventos \(A_1, A_2, \ldots, A_k\) representam uma partição do espaço amostral quando
\(A_i \cap A_j = \emptyset, \forall \, i\neq j\)
\(\bigcup\limits_{i=1}^k A_i = \Omega\)
Teorema da Probabilidade Total
- Considere um evento \(B\subset \Omega\).
- Podemos dizer que \(B\) é formado pela união das partes de \(B\) que fazem interseção com os \(A_i\), \(i=1,\ldots,k\), ou seja, \[
B = (B\cap A_1)\cup(B\cap A_2)\cup\cdots\cup(B\cap A_k)
\]
- Note que algumas desas interseções podem ser vazias.
Teorema da Probabilidade Total
Assim,
\[
\begin{aligned}
P(B) &= P(B\cap A_1)+P(B\cap A_2)+\cdots+P(B\cap A_k)\\
&\!\!\!= P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+\cdots+P(A_k)P(B|A_k)\\
&\!\!\!= \sum_{i=1}^{k} P(A_i)P(B|A_i)
\end{aligned}
\]
- Esse resultado é conhecido como lei da probabilidade total ou teorema da probabilidade total.
- Ele é útil quando não conseguimos calcular diretamente a probabilidade de \(B\), e precisamos considerar todas as maneiras diferentes pelas quais \(B\) pode ocorrer.
Exemplo 6.1
Um aluno está resolvendo uma questão de um trabalho. A probabilidade de resolver a questão sem precisar de pesquisa é de 40%. Se ele optar por fazer a pesquisa, a probabilidade de resolver a questão é de 70%. A probabilidade de que o aluno decida fazer a pesquisa é de 80%. Calcule a probabilidade total de que o aluno consiga resolver a questão.
Exemplo 6.2
Suponha que três máquinas (\(M_1, M_2\) e \(M_3\)) operem simultaneamente. Considere que essas máquinas são responsáveis por 35%, 40% e 25% da produção total, respectivamente. Além disso, 2%, 3% e 1% das peças produzidas pelas máquinas \(M_1\), \(M_2\) e \(M_3\), respectivamente, apresentam defeito. Ao final de um dia, uma peça é escolhida aleatoriamente da linha de produção. Qual é a probabilidade de que a peça escolhida esteja com defeito?
Exemplo 6.3
Um banco utiliza um algoritmo de Inteligência Artificial para identificar transações fraudulentas. Dados históricos mostram que a probabilidade de uma transação ser Fraude (\(F\)) é de 1%. A probabilidade de ser uma Transação Legítima (\(L\)) é de 99%. O algoritmo nem sempre é perfeito: se a transação é Fraude, o algoritmo emite um Alerta (\(A\)) com 95% de precisão, \(P(A|F) = 0,95\). Se a transação é Legítima, o algoritmo ainda pode emitir um Alerta (\(A\)) (falso positivo) com 2% de probabilidade, \(P(A|L) = 0,02\). Qual é a probabilidade total de o algoritmo emitir um alerta para uma transação escolhida ao acaso?
Exemplo 6.4
Suponha que quatro setores de uma biblioteca (\(S_1\), \(S_2\), \(S_3\), e \(S_4\)) são responsáveis por arquivar diferentes categorias de livros. O setor \(S_1\) é responsável por 40% dos livros, o setor \(S_2\) por 25%, o setor \(S_3\) por 20%, e o setor \(S_4\) por 15%. Sabe-se que 3%, 6%, 4% e 2% dos livros arquivados nos setores \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\) e \(S_4\), respectivamente, estão com informações incorretas na catalogação. Ao final de um dia, um livro é escolhido aleatoriamente do acervo. Qual é a probabilidade de que o livro escolhido esteja com informações incorretas?
Exemplo 6.5
Um saco contém quatro bolas brancas e três pretas. Um segundo saco contém três bolas brancas e cinco pretas. Uma bola é retirada do primeiro saco e colocada no segundo. Qual é a probabilidade de que uma bola, selecionada em seguida do segundo saco, seja preta?
Exemplo 6.6
Em uma fábrica, há dois compartimentos de peças. O primeiro compartimento contém 6 peças originais e 4 peças falsificadas. O segundo compartimento contém 5 peças originais e 7 peças falsificadas. Uma peça é retirada aleatoriamente do primeiro compartimento e transferida para o segundo compartimento. Em seguida, uma peça é retirada aleatoriamente do segundo compartimento. Qual é a probabilidade de que a peça retirada do segundo compartimento seja original?
