Eventos Independentes

ESTAT0072 – Probabilidade I

Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br

Por que Eventos Independentes Importam?

Imagine as seguintes situações:

  • Você joga uma moeda duas vezes. O resultado do primeiro lançamento influencia o segundo?
  • A disponibilidade de um caminhão de bombeiros afeta a disponibilidade de uma ambulância durante uma emergência?
  • O desempenho das ações da Petrobras hoje influencia o desempenho das ações da Vale amanhã?

Por que Eventos Independentes Importam?

  • Modelar problemas reais: Seja na engenharia, medicina, finanças ou em jogos, saber se eventos são independentes simplifica o cálculo de probabilidades complexas.
  • Tomar decisões melhores: Se você sabe que a chuva não afeta o desempenho da sua equipe de futebol, pode focar em outras variáveis.
  • Construir bases sólidas: A independência é um pilar para muitos conceitos avançados em Estatística, como inferência e modelagem estatística.

Exemplo 8.1

Suponha que um dado equilibrado seja jogado duas vezes. Definimos os eventos:

  • A: o primeiro dado mostra um número par;
  • B: o segundo dado mostra um 5 ou 6.

Qual a probabilidade de que esses dois eventos ocorram?

Eventos Independentes

  • Sejam \(A\) e \(B\) eventos independentes.
  • Assim, a ocorrência do evento \(A\) não influencia o evento \(B\) e vice-versa.
  • Então, podemos dizer que \[ P(B|A) = P(B) \quad \text{e} \quad P(A|B) = P(A). \]
  • Além disso, existe uma definição adicional que também é válida e muito mais utilizada.

Eventos Independentes

  • \(A\) e \(B\) são eventos independentes se, e somente se, \[ P(A\cap B) = P(A)P(B). \]

Ou seja,

  • Se os dois eventos forem independentes, a relação acima é válida.
  • Além disso, se a relação acima é válida, os dois eventos são independentes.

Eventos Mutuamente Excludentes vs. Eventos Independentes: Não confunda!

Eventos Mutuamente Excludentes (ou Disjuntos)

  • Se um evento acontece, o outro não pode acontecer. Eles não têm resultados em comum.

  • A probabilidade da intersecção deles é zero: \[P(A\cap B)=0\]

  • Exemplo: Lançar um dado e obter um 2 (evento A) e obter um 5 (evento B). Se você tira 2, não pode ter tirado 5 no mesmo lançamento.

Eventos Mutuamente Excludentes vs. Eventos Independentes: Não confunda!

Eventos Independentes

  • A ocorrência de um evento não afeta a probabilidade de o outro ocorrer. Eles não têm “influência” um sobre o outro.

  • A probabilidade da intersecção deles é o produto das suas probabilidades individuais: \[ P(A\cap B)=P(A)P(B).\]

  • Exemplo: Lançar uma moeda e obter cara e depois lançar a moeda novamente e obter coroa. O primeiro lançamento não muda as chances do segundo.

Exemplo 8.2

Uma pequena cidade possui um caminhão de bombeiros e uma ambulância para emergências. A probabilidade de que o caminhão de bombeiros esteja disponível quando necessário é de 0,98, e a probabilidade de que a ambulância esteja disponível é de 0,92. No caso de um ferimento causado por um incêndio em um prédio, qual é a probabilidade de que tanto a ambulância quanto o caminhão de bombeiros estejam disponíveis?

Exemplo 8.3

Uma carta é selecionada aleatoriamente de um baralho comum de 52 cartas. Sejam os eventos

  • \(A\): a carta selecionada é um ás;
  • \(E\): a carta selecionada é do naipe de espadas.

Os eventos \(A\) e \(E\) são independentes?

Exemplo 8.4

Suponha que joguemos um dado honesto duas vezes. Sejam os eventos

  • \(A\): a soma dos dados é igual a 6;
  • \(B\): o resultado do primeiro lançamento é igual a 4.

Pergunta-se:

  1. \(A\) e \(B\) são independentes?
  2. Se \(C\) é o evento em que a soma dos dados é igual a 7, \(B\) e \(C\) são independentes?

Proposição 8.1

Se \(A\) é independente de \(B\), então \(A\) é independente de \(B^c\).

Demonstração

Temos que \(A = (A\cap B)\cup(A\cap B^c)\). Como \(A\cap B\) e \(A\cap B^c\) são mutuamente excludentes e \(A\) e \(B\) são independentes, \[\small \begin{align*} &P(A) = P(A\cap B) + P(A\cap B^c)\\ \Rightarrow &P(A) = P(A)P(B) + P(A\cap B^c)\\ \Rightarrow &P(A\cap B^c) = P(A)-P(A)P(B)\\ \Rightarrow &P(A\cap B^c) = P(A)[1-P(B)]\\ \Rightarrow &P(A\cap B^c) = P(A)P(B^c)\\ \end{align*} \] Logo, \(A\) e \(B^c\) são independentes.

Independência de Mais de Dois Eventos

Três eventos \(A\), \(B\) e \(C\) ditos independentes se

  • \(P(A\cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)\);
  • \(P(A\cap B) = P(A)P(B)\);
  • \(P(A\cap C) = P(A)P(C)\);
  • \(P(B\cap C) = P(B)P(C)\).

Independência de Mais de Dois Eventos

Dizemos que \(n\) eventos \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) são independentes se, para cada subconjunto \(A_1,A_2,\ldots,A_r\) desses eventos, \(r\leq n\), \[ P(A_1\cap A_2 \cap\cdots\cap A_r) = P(A_1)P(A_2)\cdots P(A_r). \]

  • Se tivermos um conjunto infinito de eventos, diremos que eles são independentes se cada subconjunto finito desses eventos for independente.

Exemplo 8.5

Uma moeda é adulterada para que a cara tenha duas vezes mais chances de ocorrer do que a coroa. Se a moeda for jogada três vezes, qual é a probabilidade de obter duas coroas e uma cara?

Exemplo 8.6

No lançamento de um dado dodecaédrico (12 faces), considere os eventos:

  • \(A\): “múltiplo de 3”
  • \(B\): “menor ou igual a 6”
  • \(C\): “par”

Verifique se os eventos \(A\), \(B\) e \(C\) são independentes.

Exemplo 8.7

Considere o lançamento de um dado de 4 faces. Sejam

  • \(A\): “par”
  • \(B\): “menor que 3”
  • \(C\): “1 ou 4”

Os eventos \(A\), \(B\) e \(C\) são independentes?

Resumo

  • Eventos independentes são aqueles em que a ocorrência de um não afeta a probabilidade de ocorrência do outro.
  • A forma mais direta de verificar ou usar a independência é através da probabilidade da intersecção: \(P(A\cap B) = P(A)P(B)\).
  • Para eventos independentes, a informação da ocorrência de um evento não muda a probabilidade do outro: \(P(B|A)=P(B)\) e \(P(A|B)=P(B)\).
  • Lembre-se que independência dois a dois não garante independência simultânea de três ou mais eventos.

Fim