Variáveis Aleatórias Discretas e Função de Probabilidade

ESTAT0072 – Probabilidade I

Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br

Introdução

  • Muitas vezes é mais interessante associarmos um número a um evento aleatório e calcularmos a probabilidade da ocorrência desse número do que a probabilidade do evento.
  • A variável aleatória fornece um meio de descrever resultados experimentais usando-se valores numéricos.
  • Exemplos:
    • Número de pessoas que visitam um determinado site, num certo período de tempo;
    • Volume de água perdido por dia, num sistema de abastecimento.

Definição 9.1: Variável Aleatória

Sejam \(E\) um experimento e \(\Omega\) uma espaço amostral associado a esse experimento. Chamamos de variável aleatória (v.a.) uma função \(X\) que associa cada elemento \(\omega\in\Omega\) a um número real, \(X(\omega)\).

  • Note que, embora utilizamos o termo , \(X\) é uma função.

Exemplo

Lançam-se 3 vezes uma moeda. A v.a. \(X\) = “número de caras” associa (\(C\): cara, \(K\): coroa):

  • \(X(CCC) = 3\)
  • \(X(KCK) = 1\)
  • \(X(KKK) = 0\)


  • O contradomínio \(R_X\) é o conjunto de todos os valores que a v.a. pode assumir.
    • No exemplo, \(R_X = \{0,1,2,3\}\).

Definição 9.2: Variável Aleatória Discreta

Uma v.a. \(X\) é discreta se seu contradomínio \(R_X\) é finito ou infinito enumerável.

  • Uma v.a. discreta é geralmente associada a contagens.
  • Exemplos:
    • Número de peças defeituosas em um lote (finito).
    • Número de carros que passam por um pedágio em uma hora (infinito enumerável).

Definição 9.3: Função de Probabilidade (F.P.)

Para uma v.a. discreta \(X\), a função de probabilidade \(p(x)=P(X=x)\) nos dá a probabilidade de a v.a. assumir um valor específico \(x\).

  • Esta função deve satisfazer duas condições fundamentais:
    1. \(p(x)\geq 0\), para todo \(x\).
    2. \(\sum\limits_{x\in R_X} p(x)=1\) (A soma de todas as probabilidades deve ser exatamente 1).

Exemplo:

Seja a v.a. \(X\) = “número de caras” em 3 moedas honestas.

  • \(P(X=0)=P(\{KKK\})=\frac{1}{8}\)
  • \(P(X=1)=P(\{CKK, KCK, KKC\})=\frac{3}{8}\)
  • \(P(X=2)=P(\{CCK, CKC, KCC\})=\frac{3}{8}\)
  • \(P(X=3)=P(\{CCC\})=\frac{1}{8}\)


  • A soma das probabilidades é \(\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=1\).

Visualização Gráfica

  • As probabilidades dos valores da v.a. \(X\) podem ser viualizadas por meio de gráficos de hastes.
  • No exemplo anterior, temos:
  • Por que isso importa? Ajuda a visualizar onde a “massa” da probabilidade está concentrada.

Modelagem Matemática (Funções)

  • Às vezes, \(P(X=x)\) é dada por uma fórmula.
  • Exemplo: \(P(X=x) = \frac{x}{10}\) para \(x \in \{1, 2, 3, 4\}\).
    • Verificação: \(\frac{1}{10} + \frac{2}{10} + \frac{3}{10} + \frac{4}{10} = \frac{10}{10} = 1\). (Válida!)

Exemplo 9.1

Um homem possui 4 chaves em seu bolso. Como está escuro, ele não consegue ver qual a chave correta para abrir a porta de sua casa. Ele testa cada uma das chaves até encontrar a correta.

  1. Defina um espaço amostral para esse experimento.
  2. Considere a v.a. \(X\): número de chaves experimentadas até conseguir abrir a porta (inclusive a chave correta). Determine os possíveis valores que \(X\) pode assumir e suas respectivas probabilidades.

Exemplo 9.2

Seja \(X\) uma V.A. discreta com função de probabilidade dada por \[P(X=x) = k \cdot x, \quad \text{para } x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}.\]

  1. Determine o valor da constante \(k\) para que esta seja uma função de probabilidade válida.
  2. Calcule \(P(X > 3)\).

Exemplo 9.3

Um investidor comprou uma ação. Há 20% de chance de ele ganhar R$ 1.000, 50% de chance de ele empatar (R$ 0) e 30% de chance de ele perder R$ 500. Seja \(X\) o lucro do investidor. Represente \(X\) graficamente.

Exemplo 9.4

Um jogador paga R$ 5,00 para participar num jogo onde lança um dado honesto de 6 faces. Se sair o número 6, ele ganha R$ 20,00. Se sair o número 5, ele ganha R$ 5,00 (recebe o que pagou de volta). Para qualquer outro resultado, ele não ganha nada. Seja \(L\) a variável aleatória que representa o lucro líquido do jogador por partida.

  1. Determine o suporte \(R_L\) da variável aleatória.
  2. Construa a tabela da função de probabilidade \(P(L=l)\).
  3. Qual a probabilidade de o jogador não ter prejuízo numa rodada?

Exemplo 9.5

Um lote de 10 componentes eletrónicos contém 3 componentes defeituosos. Um técnico seleciona aleatoriamente 2 componentes para teste, sem reposição. Seja \(X\) o número de componentes defeituosos encontrados na amostra.

  1. Determine a função de probabilidade de \(X\) (apresente os valores em forma de tabela).
  2. Esboce o gráfico de hastes para esta distribuição.
  3. Qual é a probabilidade de encontrar pelo menos um componente defeituoso?

Fim