Função de Distribuição Acumulada

ESTAT0072 – Probabilidade I

Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br

Definição 10.1: Função de Distribuição Acumulada (FDA)

A Função de Distribuição Acumulada, denotada por \(F(x)\), expressa a probabilidade de a variável aleatória \(X\) assumir um valor menor ou igual a um número real \(x\): \[ F(x)=P(X≤x) = \sum\limits_{x_j\leq x} P(X=x_j). \]

  • Intuição: Enquanto a função de probabilidade (aula passada) foca em pontos isolados, a FDA foca no “passado” e no “presente” do valor \(x\).

Propriedades Fundamentais

  • Limites: \(\lim\limits_{x \to -\infty} F(x) = 0\) e \(\lim\limits_{x \to \infty} F(x) = 1\).
  • Monotonicidade: \(F(x)\) é uma função não-decrescente (nunca diminui).
  • Continuidade à Direita: Para variáveis discretas, a função dá um salto no ponto \(x\), mas o valor do ponto pertence ao degrau de cima.
  • Cálculo de Intervalos: \(P(a < X \le b) = F(b) - F(a)\).

Gráfico da Função de Distribuição Acumulada

  • O gráfio da função de distribuição acumulada tem forma de escada. Cada degrau ocorre exatamente nos valores de \(x\).
  • O tamanho do salto no ponto \(x\) é exatamente a probabilidade pontual \(P(X=x)\).
  • Exemplo:

Exemplo 10.1

Dada a função de distribuição acumulada abaixo: \[ F(x) = \begin{cases} 0, & x < 1 \\ 0,\!3, & 1 \le x < 3 \\ 0,\!7, & 3 \le x < 4 \\ 1, & x \ge 4 \end{cases} \]

  1. Determine o suporte da variável aleatória \(X\).
  2. Encontre a função de probabilidade \(P(X=x)\) para cada valor do suporte.
  3. Calcule \(P(X \le 3)\) e \(P(X > 3)\).

Exemplo 10.2

Considere a V.A. \(X\) com FDA dada por

  • \(F(0)=0,1\);
  • \(F(1)=0,4\);
  • \(F(2)=0,8\);
  • \(F(3)=1,0\).

Calcule:

  1. \(P(1 < X \le 3)\)
  2. \(P(X \ge 2)\) usando a regra do complementar via FDA.
  3. \(P(0,\!5 < X < 2,\!5)\)

Exemplo 10.3

Uma moeda viciada tem probabilidade de cara igual a \(0,6\). Lança-se esta moeda 2 vezes. Seja \(X\) o número de caras obtido.

  1. Determine a função de probabilidade de \(X\).
  2. Escreva a expressão analítica da FDA \(F(x)\) (usando a notação de chaves por intervalos).
  3. Esboce o gráfico da FDA.

Exemplo 10.4

O número de falhas por hora em um servidor, \(X\), possui a seguinte FDA: \[F(x) = 1 - (0,5)^{x+1} \text{ para } x \in \{0, 1, 2, \dots\}\]

  1. Calcule a probabilidade de ocorrerem no máximo 2 falhas em uma hora.
  2. Calcule a probabilidade de ocorrerem exatamente 3 falhas. (Lembre-se: \(P(X=x) = F(x) - F(x-1)\)).

Fim