Valor Esperado de Uma Variável Aleatória Discreta
ESTAT0072 – Probabilidade I
Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br
Definição 11.1: Valor Esperado de Uma Variável Aleatória Discreta
- Se \(X\) é uma variável aleatória com função de probabilidade \(P(X=x)\), então a esperança, ou valor esperado, de \(X\), representado por \(E(X)\), é definida por \[ E(X) = \sum\limits_x x P(X=x). \]
- Em palavras, o valor esperado de \(X\) é uma média ponderada dos possíveis valores que \(X\) pode assumir, onde cada valor é ponderado pela probabilidade de \(X\) ser igual a esse valor.
Exemplo
Considere a variável aleatória \(X\) que assume apenas os valores 0 e 1, com \(P(X=0)=\frac{1}{3}\) e \(P(X=1)=\frac{2}{3}\). Então \[ E(X) = 0\left(\frac{1}{3}\right) + 1 \left(\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3}. \]
Exemplo 11.1
Um fabricante produz peças tais que 10% delas são defeituosas e 90% são não-defeituosas. Se uma peça defeituosa for produzida, o fabricante perde R$ 1, enquanto uma peça não-defeituosa lhe dá um lucro de R$ 5. Se \(X\) é o lucro líquido por peça, qual o lucro esperado com uma peça?
Exemplo 11.2
Em determinado setor de uma loja de departamentos, o número de produtos vendidos em um dia pelos funcionários é uma variável aleatória \(P\) com a seguinte distribuição de probabilidades (esses números foram obtidos dos resultados de vários anos de estudo):
| Número de produtos | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Prob. de venda | 0,1 | 0,4 | 0,2 | 0,1 | 0,1 | 0,05 | 0,05 |
- Qual é o número médio de produtos vendidos por cada vendedor?
- Se ele vende até 2 produtos em um dia, ele ganha uma comissão de R$10,00 por produto vendido. A partir da terceira venda, a comissão passa para R$50,00. Qual a comissão média de cada vendedor?
Definição 11.2: Esperança de uma Função de uma Variável Aleatória
Seja \(X\) uma variável aleatória discreta com função de distribuição de probabilidade \(P(X=x)\). Se definimos uma nova v.a. \(Y = g(X)\), então \[ E(Y) = E[g(X)] = \sum\limits_x g(x) P(X=x). \]
Exemplo 11.3
Considere a v.a. \(X\) com função de probabilidade
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(P(X = x)\) | \(0,\!1\) | \(0,\!2\) | \(0,\!2\) | \(0,\!3\) | \(0,\!1\) | \(0,\!1\) |
Seja \(Y=X^2\). Qual a esperança de \(Y\)?
Propriedades do Valor Esperado
Sejam \(X\) e \(Y\) variáveis aleatórias discretas e \(a\), \(b\) e \(c\) constantes. Então
PE1. \(E(X + b) = E(X) + b\)
PE2. \(E(aX) = a E(X)\)
PE3. \(E(aX + b) = aE(X) + b\)
PE4. \(E(X + Y) = E(X) + E(Y)\)
PE5. \(E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c\)
Exemplo 11.4
Se a esperança de \(X\) é igual a 10 e a esperança de \(Y\) é igual a 15. Calcule
- \(E(X+3)\)
- \(E(2X)\)
- \(E(2X+3)\)
- \(E(X+Y)\)
- \(E(2X+4Y-6)\)
Fim
