Variância de Uma Variável Aleatória Discreta

ESTAT0072 – Probabilidade I

Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br

Definição 12.1: Variância de Uma Variável Aleatória Discreta

A variância de uma variável aleatória discreta $X$ é definida como \[ \begin{aligned} Var(X) &= E\left[\left(X-E[X]\right)^2\right]\\ &= E[X^2] - \left(E[X]\right)^2 \end{aligned} \] em que
- $E[X] = \sum\limits_{i} x_i P(X=x_i)$
- $E[X^2] = \sum\limits_{i} x^2_i P(X=x_i)$
O desvio padrão de é dado por $DP(X) = \sqrt{Var(X)}$.

Exemplo 12.1

Um lojista mantém extensos registros das vendas diárias de um certo aparelho. O quadro a seguir dá a distribuição de probabilidades do número de aparelhos vendidos em uma semana. Se é de R$500,00 o lucro por unidade vendida, qual o lucro esperado em uma semana? Qual é o desvio padrão do lucro?

$x$: número de aparelhos	0	1	2	3	4	5
$P(X=x)$	0,1	0,1	0,2	0,3	0,2	0,1

Exemplo 12.2

O tempo, em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade:

t	2	3	4	5	6	7
P(T=t)	0,1	0,1	0,3	0,2	0,2	0,1

Calcule o tempo médio de processamento e a variância.
Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de R$ 2,00 mas, se ele processa a peça em menos de seis minutos, ganha R$ 0,50 em cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em quatro minutos, ganha a quantia adicional de R$ 1,00. Encontre a distribuição, a média e a variância da variável aleatória.

Propriedades da Variância

Seja $X$ uma v.a. e $a$ e $b$ constantes. Então

PV1. $Var(a)=0$

PV2. $Var(X+b) = Var(X)$

PV3. $Var(aX) = a^2Var(X)$

PV4. $Var(aX+b) = a^2Var(X)$

Exemplo 12.3

Seja $X$ o número de carros lavados num lava-rápido em 1 hora.

$x$	3	4	6	7	8	9
$P(X=x)$	1/12	1/12	1/4	1/4	1/6	1/6