Distribuições de Bernoulli e Binomial

ESTAT0072 – Probabilidade I

Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br

Distribuição de Bernoulli

  • Podemos interpretar o resultado de um experimento como tendo dois resultados possíveis.
    • Ocorre ou não um sinistro em uma apólice de seguro;
    • Uma peça produzida apresenta defeito ou não;
    • Uma aluna tira uma nota maior ou igual a 5 ou não;
    • Uma pessoa apresenta uma doença ou não.


  • Quando um experimento é realizado apenas uma vez e interpretamos o resultado como sucesso ou fracasso, temos um experimento de Bernoulli.

Definição 13.1: Distribuição de Bernoulli

  • Um experimento de Bernoulli é um experimento aleatório que possui dois resultados possíveis:
    • um é chamado sucesso (\(X=1\))
    • e o outro de fracasso (\(X=0\)).
  • A probabilidade de sucesso é \(P(X=1) = p\).
  • A probabilidade de fracasso é \(P(X=0)=1-p\).
  • Podemos então escrever o seguinte:
    • Se \(X\) é uma variável aleatória de Bernoulli, sua função de probabilidade é \[ P(X=x) = p^x (1-p)^{1-x}, \quad x = 0,1 \]
  • Notação: \(X\sim \text{Bernoulli}(p)\)

Exemplo 13.1

Um dado de seis faces é lançado. Seja \(X\): “a face voltada para cima é igual a 2”. Indique a distribuição \(X\) e explicite sua função de probabilidade.

Teorema 13.1

  • Se \(X\sim \text{Bernoulli}(p)\), a esperança e a variância são, respectivamente, iguais a \[ E(X) = p \] e \[ Var(X) = p(1-p). \]

Exemplo 13.2

Um dado de seis faces é lançado. Seja \(X\): “a face voltada para cima é igual a 2”. Qual o valor esperado de \(X\) e sua variância?

Agora vejamos este exemplo…



Exemplo 13.3

Um dado honesto é lançado três vezes. Considere como sucesso a ocorrência da face 2. Seja \(X\) o número de vezes que a face 2 aparece nos três lançamentos. Qual a probabilidade de ocorrer exatamente dois sucessos?

Definição 13.2: Distribuição Binomial

  • Considere que \(p\) é a probabilidade de sucesso em um experimento e \(1 - p\) é a probabilidade de fracasso.
  • Suponha que vamos repetir o experimento \(n\) vezes em que cada repetição é independente da outra.
  • Se \(X\) é o número de sucessos nas \(n\) repetições do experimento, dizemos que \(X\) tem distribuição binomial e calculamos a probabilidade usando \[ P(X=x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}, \quad x = 0, 1, \ldots, n. \]
  • Notação: \(X\sim \text{Binomial}(n,p)\).

Distribuição Binomial

  • Note que a soma das probabilidades é igual a 1, pois \[ \begin{aligned} \sum\limits_{x=0}^n P(X=x) &= \sum\limits_{x=0}^n \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}\\ &= [p + (1-p)]^n\\ &= 1^n\\ &= 1 \end{aligned} \]

  • Note também que \(X\) é a soma de \(n\) realizações independentes de um experimento de Bernoulli(\(p\)).

Distribuição Binomial

Como identificar a distribuição binomial:

  • O experimento é realizado um número fixo de vezes (\(n\)).
  • Cada tentativa é independente das demais.
  • A probabilidade de sucesso (\(p\)) é constante em cada tentativa.
  • A variável de interesse \(X\) é o número de sucessos.

Teorema 13.2

  • Se \(X\sim \text{Binomial}(n,p)\), o valor esperado e a variância são dados da seguinte forma: \[ E(X) = np \] e \[ Var(X) = np(1-p). \]

Exemplo 13.4

Seja \(X \sim\) Binomial(\(n=8; p=0,5\)). Detmerine:

  1. \(P(X=3)\)
  2. \(P(X>5)\)
  3. \(P(2\leq X\leq 4)\)
  4. \(E(X)\)
  5. \(Var(X)\)

Exemplo 13.5

A probabilidade de que um(a) eleitor(a) vote em uma candidata é 3/4. Dez pessoas são entrevistadas em uma pesquisa eleitoral.

  1. Qual a probabilidade de que exatamente duas votem na candidata?
  2. Qual a probabilidade de que pelo menos 1 pessoa votem na candidata?
  3. Qual o número esperado de eleitores da candidata entre essas 10 pessoas?
  4. Qual a variância?

Exemplo 13.6

Uma carteira possui 20 automóveis segurados. A probabilidade de ocorrer um sinistro em um automóvel dessa carteira e o seguro ser acionado é de 10%.

  1. Qual o número esperado de carros que acionarão o seguro?
  2. Qual a variância?
  3. Qual a probabilidade de que 5 carros precisarem acionar o seguro por causa de um sinistro?
  4. Qual a probabilidade de que de 2 a 3 carros acionem o seguro?
  5. Qual a probabilidade de que ate 19 carros acionem o seguro?

Distribuição Binomial no R

Para calcular no R (você pode baixar o aplicativo R Compiler no seu smartphone)

  • \(P(X=x)\) use o comando dbinom(x, n, p).

  • \(P(X\leq x)\) use o comando pbinom(x, n, p).

  • Exemplo: \(X\sim\text{Binomial}(n=27, p=0.65)\).

dbinom(12, 27, 0.65) # P(X=12)
[1] 0.01432607
pbinom(12, 27, 0.65) # P(X≤12)
[1] 0.02292425

Distribuição Binomial no R

Gráfico da dist. Binomial para \(X\sim\text{Binomial}(n=10, p = 0.5)\).

n <- 10; p <- 0.5
barplot(dbinom(0:n, n, p), names.arg = 0:n,
        xlab = "Número de Sucessos", ylab = "Probabilidade",
        col = "blue", border = "blue", ylim = c(0,.25))

Resumo

Distribuição Bernoulli (\(p\)) Binomial (\(n, p\))
Contexto Um único ensaio \(n\) ensaios independentes
Suporte (\(R_X\)) \(\{0, 1\}\) \(\{0, 1, 2, \dots, n\}\)
\(P(X=x)\) \(p^x (1-p)^{1-x}\) \(\binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}\)
\(E[X]\) \(p\) \(np\)
\(Var(X)\) \(p(1-p)\) \(np(1-p)\)
Comando no R dbinom(x, 1, p) dbinom(x, n, p)

Fim