Distribuições de Bernoulli e Binomial

ESTAT0072 – Probabilidade I

Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br

Distribuição de Bernoulli

• Podemos interpretar o resultado de um experimento como tendo dois resultados possíveis.
  • Ocorre ou não um sinistro em uma apólice de seguro;
  • Uma peça produzida apresenta defeito ou não;
  • Uma aluna tira uma nota maior ou igual a 5 ou não;
  • Uma pessoa apresenta uma doença ou não.

• Quando um experimento é realizado apenas uma vez e interpretamos o resultado como sucesso ou fracasso, temos um experimento de Bernoulli.

Definição 13.1: Distribuição de Bernoulli

• Um experimento de Bernoulli é um experimento aleatório que possui dois resultados possíveis:
  • um é chamado sucesso (\(X=1\))
  • e o outro de fracasso (\(X=0\)).
• A probabilidade de sucesso é \(P(X=1) = p\).
• A probabilidade de fracasso é \(P(X=0)=1-p\).
• Podemos então escrever o seguinte:
  • Se \(X\) é uma variável aleatória de Bernoulli, sua função de probabilidade é \[ P(X=x) = p^x (1-p)^{1-x}, \quad x = 0,1 \]
• Notação: \(X\sim \text{Bernoulli}(p)\)

Exemplo 13.1

Um dado de seis faces é lançado. Seja \(X\): a face voltada para cima é igual a 2. Indique a distribuição \(X\) e explicite sua função de probabilidade.

Teorema 13.1

• Se \(X\sim \text{Bernoulli}(p)\), a esperança e a variância são, respectivamente, iguais a \[ E(X) = p \] e \[ Var(X) = p(1-p). \]

Exemplo 13.2

Um dado de seis faces é lançado. Seja \(X\): a face voltada para cima é igual a 2. Qual o valor esperado de \(X\) e sua variância?

Definição 13.2: Distribuição Binomial

• Considere que \(p\) é a probabilidade de sucesso em um experimento e \(1 - p\) é a probabilidade de fracasso.
• Suponha que vamos repetir o experimento \(n\) vezes em que cada repetição é independente da outra.
• Se \(X\) é o número de sucesso nas \(n\) repetições do experimento, dizemos que \(X\) tem distribuição binomial e calculamos a probabilidade usando \[ P(X=x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}, \quad x = 0, 1, \ldots, n. \]
• Notação: \(X\sim \text{Binomial}(n,p)\).

Distribuição Binomial

• Note que a soma das probabilidades é igual a 1, pois \[ \begin{aligned} \sum\limits_{x=0}^n P(X=x) &= \sum\limits_{x=0}^n \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}\\ &= [p + (1-p)]^n\\ &= 1^n\\ &= 1 \end{aligned} \]

• Note também que \(X\) é a soma de \(n\) realizações independentes de um experimento de Bernoulli(\(p\)).

Distribuição Binomial

Como identificar a distribuição binomial:

• O experimento é realizado um número fixo de vezes (\(n\)).
• Cada tentativa é independente das demais.
• A probabilidade de sucesso (\(p\)) é constante em cada tentativa.
• A variável de interesse \(X\) é o número de sucessos.

Teorema 13.2

• Se \(X\sim \text{Binomial}(n,p)\), o valor esperado e a variância são dados da seguinte forma: \[ E(X) = np \] e \[ Var(X) = np(1-p). \]

Exemplo 13.3

A probabilidade de que um(a) eleitor(a) vote em uma candidata é 3/4.

1. Se 10 pessoas são entrevistadas em uma pesquisa eleitoral, determine a probabilidade de que exatamente duas votem na candidata.
2. Qual a probabilidade de que pelo menos 1 pessoa votem na candidata?
3. Qual o número esperado de eleitores da candidata entre essas 10 pessoas?
4. Qual a variância?

Exemplo 13.4

Uma carteira possui 20 automóveis segurados. A probabilidade de ocorrer um sinistro em um automóvel dessa carteira e acionar o seguro é de 10%.

1. Qual o número esperado de carros que acionarão o seguro?
2. Qual a variância?
3. Qual a probabilidade de que 5 carros precisarem acionar o seguro por causa de um sinistro?
4. a probabilidade de que de 2 a 4 carros acionem o seguro?
5. Qual a probabilidade de que pelo menos 1 carro acione o seguro?

Distribuição Binomial no R

Para calcular no R (você pode baixar o aplicativo R Compiler no seu smartphone)

• \(P(X=x)\) use o comando dbinom(x, n, p).

• \(P(X\leq x)\) use o comando pbinom(x, n, p).

• Exemplo: \(X\sim\text{Binomial}(n=27, p=0.65)\).

dbinom(12, 27, 0.65) # P(X=12)

[1] 0.01432607

pbinom(12, 27, 0.65) # P(X≤12)

[1] 0.02292425

Distribuição Binomial no R

Gráfico da dist. Binomial para \(X\sim\text{Binomial}(n=10, p = 0.5)\).

n <- 10; p <- 0.5
barplot(dbinom(0:n, n, p), names.arg = 0:n,
        xlab = "Número de Sucessos", ylab = "Probabilidade",
        col = "blue", border = "blue", ylim = c(0,.25))

Resumo

Distribuição	Bernoulli (\(p\))	Binomial (\(n, p\))
Contexto	Um único ensaio	\(n\) ensaios independentes
Suporte (\(R_X\))	\(\{0, 1\}\)	\(\{0, 1, 2, \dots, n\}\)
\(P(X=x)\)	\(p^x (1-p)^{1-x}\)	\(\binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}\)
\(E[X]\)	\(p\)	\(np\)
\(Var(X)\)	\(p(1-p)\)	\(np(1-p)\)
Comando no R	dbinom(x, 1, p)	dbinom(x, n, p)

Fim