Distribuição Geométrica e Distribuição Binomial Negativa

ESTAT0072 – Probabilidade I

Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br

Definição 15.1: Distribuição Geométrica

  • Considere que \(p\) é a probabilidade de sucesso em um experimento e \(1 - p\) é a probabilidade de fracasso.
  • Se \(X\) é o número de repetições do experimento até obtermos o primeiro sucesso, dizemos que \(X\) tem distribuição geométrica e calculamos a probabilidade usando \[ P(X=x) = (1-p)^{x-1}p, \quad x = 1, 2, \ldots \]
  • Notação: \(X\sim \text{Geométrica}(p)\).

Teorema 15.1

Se \(X\sim \text{Geométrica}(p)\), a esperança e a variância são \[ E(X) = \frac{1}{p} \] e \[ Var(X) = \frac{1-p}{p^2}. \]

Distribuição Geométrica

Como identificar a distribuição geométrica:

  • O experimento é realizado até ocorrer o primeiro sucesso.

Exemplo 15.1

\(X\sim \text{Geométrica}(0,6)\). Calcule:

  1. \(P(X=5)\)
  2. \(P(2<X\leq 5)\)
  3. \(E(X)\)
  4. \(Var(X)\)

Propriedade de Perda de Memória da Geométrica

  • Dizemos que a Distribuição Geométrica “não tem memória” porque a probabilidade de um sucesso ocorrer no futuro não depende de quantas tentativas de fracasso já ocorreram no passado.
  • Isto é, Se \(X \sim \text{Geométrica}(p)\), então para quaisquer inteiros \(s\) e \(t\): \[P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)\]

Propriedade de Perda de Memória da Geométrica

Exemplo Prático

Suponha que você está tentando pescar um peixe raro (sucesso) e a probabilidade é a mesma em cada tentativa.

  • Se você já tentou 10 vezes e não pescou nada, a probabilidade de precisar de mais 5 tentativas é exatamente a mesma probabilidade de alguém que acabou de chegar e vai começar a pescar agora precisar de 5 tentativas.
  • O processo “esquece” que você já falhou 10 vezes.

Distribuição Geométrica no R

Para calcular no R:

  • \(P(X=x)\) use o comando dgeom(x-1, p).
  • \(P(X\leq x)\) use o comando pgeom(x-1, p).

Exemplo: \(X\sim\text{Geométrica}(0,\!6)\).

dgeom(5-1, 0.6) # P(X=5)
[1] 0.01536
pgeom(5-1, 0.6) # P(X≤3)
[1] 0.98976

Distribuição Geométrica no R

Gráfico da distribuição Geométrica no R para \(X\sim\text{Geométrica}(p=0,\!6)\).

p <- 0.6
barplot(dgeom(0:9, 0.6),
        names.arg = 1:10,
        xlab = "Número de tentativas",
        ylab = "Probabilidade",
        col = "blue",
        border = "black")

Distribuição Geométrica no R

Exemplo 15.2

Uma pesquisa do instituto YouGov encomendada pela Google entre 27 de junho a 20 de julho de 2022 apontou que 44% dos brasileiros dizem ter contato com fake news diariamente1. Se uma nova pesquisa for realizada,

  1. qual a probabilidade de que a terceira pessoa entrevistada seja a primeira a afirmar que tem contato com fake news diariamente?
  2. qual a probabilidade de que a primeira pessoa a afirmar que tem contato com fake news diariamente seja a sétima ou oitava pessoa entrevistada?
  3. qual o número esperado de pessoas a serem entrevistadas até que a primeira afirme receber fake news diariamente? Qual a variância?

Definição 15.2: Distribuição Binomial Negativa

  • Considere que \(p\) é a probabilidade de sucesso em um experimento e \(1 - p\) é a probabilidade de fracasso.
  • Se \(X\) é o número de repetições do experimento até obtermos o \(r\)-ésimo sucesso, dizemos que \(X\) tem distribuição Binomial Negativa e calculamos a probabilidade usando \[ P(X=x) = \binom{x-1}{r-1}p^r(1-p)^{x-r}, \quad x = r, r+1, r+2, \ldots \]
  • Notação: \(X\sim \text{Binomial Negativa}(r,p)\).
  • Esta distribuição também é conhecida como distribuição de Pascal.

Teorema 15.2

  • Se \(X\sim\text{Binomial Negativa}(r,p)\), a esperança e a variância são \[ E(X) = \frac{r}{p} \] e \[ Var(X) = \frac{r(1-p)}{p^2}. \]

Exemplo 15.3

\(X\sim \text{Binomial Negativa}(4; 0,7)\). Determine

  1. \(P(X=8)\)
  2. \(P(5\leq X < 7)\)
  3. \(E(X)\)
  4. \(Var(X)\)

Distribuição Binomial Negativa no R

Para calcular no R:

  • \(P(X=x)\) use o comando dnbinom(x-1, r, p).
  • \(P(X\leq x)\) use o comando pnbinom(x-1, r, p).

Exemplo: \(X\sim\text{Binomial Negativa}(4;0,\!7)\).

dnbinom(8-1, 4, 0.7) # P(X=8)
[1] 0.006301184
pnbinom(8-1, 4, 0.7) # P(X≤8)
[1] 0.9957091

Distribuição Binomial Negativa no R

Gráfico da distribuição Binomial Negativa no R para \(X\sim\text{Binomial Negativa}(r=4; p=0,\!6)\).

r <- 4; p <- 0.6
barplot(dnbinom(0:14, r, p),
        names.arg = 1:15,
        xlab = "Número de tentativas",
        ylab = "Probabilidade",
        col = "blue",
        border = "black")

Distribuição Binomial Negativa no R

Exemplo 15.4

Uma pesquisa do instituto YouGov encomendada pela Google entre 27 de junho a 20 de julho de 2022 apontou que 44% dos brasileiros dizem ter contato com fake news diariamente1. Se uma nova pesquisa for realizada,

  1. qual a probabilidade de que a terceira pessoa entrevistada seja a segunda a afirmar que tem contato com fake news diariamente?
  2. qual a probabilidade de que a quarta pessoa a afirmar que tem contato com fake news diariamente seja a sétima ou oitava pessoa entrevistada?
  3. qual o número esperado de pessoas a serem entrevistadas até que a terceira afirme receber fake news diariamente? Qual a variância?

Fim