Distribuição de Poisson

ESTAT0072 – Probabilidade I

Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br

Definição 16.1: Distribuição de Poisson

  • Seja \(X\) uma variável aleatória com distribuição de Poisson de parâmetro \(\lambda\). Sua função de probabilidade é dada por \[ P(X=x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}, \quad x = 0, 1, 2, \ldots, \] em que
    • \(\lambda\) é o número médio de resultados por unidade de tempo, distância, área ou volume e
    • \(e=2,\!71828\ldots\)
  • Notação: \(X\sim \text{Poisson}(\lambda)\).

Teorema 16.1

Se \(X\sim \text{Poisson}(\lambda)\), a esperança e a variância são \[ E(X) = \lambda \] e \[ Var(X) = \lambda. \]

Distribuição de Poisson

Como identificar a distribuição de Poisson:

  • \(X\) representa o número de resultados que ocorrem em certo intervalo de tempo ou espaço.
  • Sempre será dada a média com que ocorre o fenômeno no tempo ou no espaço.

Distribuição de Poisson

Exemplos de variáveis aleatórias com distribuição de Poisson:

  • Erros tipográficos por página, em um material impresso;
  • Carros que passam por um cruzamento, por minuto, num intervalo de 1 hora;
  • Defeitos por unidade (m, m\(^2\), m\(^3\), etc.) por peça fabricada;
  • Mortes por ataque do coração por ano, numa cidade.

Exemplo 16.1

Seja \(X\sim \text{Poisson}(2)\). Calcule

  1. \(P(X = 3)\)
  2. \(P(X \geq 2)\)

Distribuição de Poisson no R

Para calcular no R:

  • \(P(X=x)\) use o comando dpois(x, $\lambda$).
  • \(P(X\leq x)\) use o comando ppois(x, $\lambda$).

Exemplo: \(X\sim\text{Poisson}(2)\).

dpois(3, 2) # P(X=3)
[1] 0.180447
ppois(3, 2) # P(X≤3)
[1] 0.8571235

Distribuição de Poisson no R

Gráfico da distribuição de Poisson no R para \(X\sim\text{Poisson}(\lambda=2)\).

lambda <- 2
barplot(dpois(0:10, lambda),
        names.arg = 0:10,
        xlab = "Número de resultados",
        ylab = "Probabilidade",
        col = "blue",
        border = "black")

Distribuição de Poisson no R

Exemplo 16.2

Uma central telefônica recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Qual é a probabilidade da central receber

  1. nenhuma chamada em um minuto?
  2. no máximo duas chamadas em um minuto?
  3. mais de três chamadas em um minuto?

Exemplo 16.3

Um corretor vende em média 4 seguros por semana.

  1. Qual é a probabilidade de que ele venda seis seguros naquela semana?
  2. Qual é a probabilidade de que ele venda menos de três seguros naquela semana?
  3. Qual a probabilidade de que ele venda seis seguros em duas semanas?
  4. Qual a probabilidade de que ele venda menos de três seguros em duas semanas?

Exemplo 16.4

Num livro de 800 páginas há 800 erros de impressão. Qual a probabilidade de que uma página contenha

  1. pelo menos 3 erros?
  2. no máximo 1 erro?

Aproximação da Binomial pela Poisson

  • Quando o número de ensaios \(n\) é muito grande e a probabilidade de sucesso \(p\) é muito pequena, a distribuição Binomial se aproxima de uma distribuição de Poisson com parâmetro \(\lambda = np\).
  • A aproximação é considerada excelente quando: \[n \ge 100 \quad \text{e}\quad np \le 10 \text{ (ou } p \le 0,1)\]
  • Por que utilizar?
    • Calcular \(\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}\) é muito mais rápido do que lidar com combinações de grandes números \(\binom{n}{x}\).
    • Evita erros de arredondamento em calculadoras e softwares ao processar fatoriais imensos.

Aproximação da Binomial pela Poisson

  • Exemplo: Se uma fábrica produz 2.000 lâmpadas e a chance de defeito é de 0,2% (\(p=0,002\)):
    • Pela Binomial: \(X \sim \text{Binomial}(2000; 0,002)\)
    • Pela Poisson: \(X \sim \text{Poisson}(\lambda = 2000 \cdot 0,002 = 4)\)

Fim