Estatísticas Suficientes

Como resumir a amostra sem perder nenhuma informação sobre o parâmetro?

ESTAT0078 – Inferência I
Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
http://sadraquelucena.github.io/inferencia1

Definição 9.1: Estatística Suficiente

Dizemos que a estatística \(T = T(X_1, \ldots, X_n)\) é suficiente para \(\theta\), quando a distribuição condicional de \(X_1, \ldots, X_n\) dado \(T\) for independente de \(\theta\).

  • Intuição: Se a amostra não traz nada novo sobre o parâmetro \(\theta\) depois que sabemos \(T\), é porque \(T\) já absorveu toda a informação sobre \(\theta\) contida na amostra.

  • Exemplo intuitivo: Desempenho do Aluno no Semestre ao longo do período.

    • Suficiente \(\rightarrow\) A soma (ou a média) das 3 notas
    • Não Suficiente \(\rightarrow\) Guardar apenas a maior nota (joga fora a informação sobre a consistência e o desempenho global do aluno)

Verificação via Distribuição Condicional

Para verificarmos se \(T\) é uma estatística suficiente para \(\theta\) no caso discreto:

  1. Calculamos a probabilidade condicional: \[P(X_1=x_1,\ldots,X_n=x_n \mid T=t) = \frac{P(X_1=x_1,\ldots,X_n=x_n)}{P(T=t)}\]

  2. Se a expressão resultante não envolver \(\theta\), conclui-se que \(T\) é suficiente para \(\theta\).

Exemplo 9.1

Seja \(X_1, \ldots, X_n\) uma amostra aleatória da distribuição de Bernoulli (\(\theta\)). Verifique se \(T = \sum\limits_{i=1}^n X_i\) é suficiente para \(\theta\).



Lembretes:

  1. \(X\sim \text{Bernoulli}(p)\): \(P(X=x)=p^x(1-p)^{1-x}\), \(x=0,1\).
  2. A soma de \(n\) v.a. de Bernoulli(\(p\)) tem distribuição Binomial(\(n,p\)).
  3. \(Y\sim\text{Binomial}(n,p)\): \(P(Y=y)=\binom{n}{y} p^y (1-p)^{n-y}\), \(y=0,1,2,\ldots,n\).

Exemplo 9.2

Considere o exemplo anterior, com \(n=3\) e \(T = X_1 + 2 X_2 + X_3\). Verifique que \(T\) não é suficiente para \(\theta\).



  • Dica: Considere \(X_1=1\), \(X_2=0\) e \(X_3=1\).

Exemplo 9.3

Seja \(X_1, \ldots, X_n\) uma amostra aleatória da distribuição de Poisson com parâmetro \(\theta\). Verifique se \(T=\sum\limits_{i=1}^n X_i\) é suficiente para \(\theta\).



Lembrete:

  • \(X\sim\) Poisson(\(\theta\)): \(P(X=x)=\frac{e^{-\theta}\theta^x}{x!}\), \(x=0,1,2,\ldots\)

Próximo Passo: Teorema da Fatoração

E se a distribuição for contínua (ex: Normal, Exponencial)?

  • O cálculo da densidade condicional \(f_{\mathbf{X}|T}(\mathbf{x}|t)\) pode ser extremamente trabalhoso ou algebricamente complexo.
  • Na próxima aula: Veremos o Teorema da Fatoração de Neyman-Fisher, que nos permite identificar estatísticas suficientes por simples inspeção da função de verossimilhança!

Fim