Família Exponencial

Como reconhecer distribuições pertencentes à família exponencial?

ESTAT0078 – Inferência I
Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
http://sadraquelucena.github.io/inferencia1

Definição 12.1: Família exponencial

Dizemos que a distribuição da variável aleatória \(X\) pertence à família exponencial unidimensional se pudermos escrever sua densidade (ou função de probabilidade), \(f(x)\), na forma \[ f(x) = \exp\{ c(\theta)T(x) + d(\theta) + S(x) \}, \] \(x\in A\), em que

• \(c\), \(T\), \(d\) e \(S\) são funções reais,
• \(A\) não envolve \(\theta\).

Exemplo 12.1

A distribuição Bernoulli\((\theta)\) pertence à família exponencial unidimensional?

• \(X\sim \text{Bernoulli}(\theta)\): \(f(x)=\theta^x (1-\theta)^{1-x} ,~ x=0,1.\)

Exemplo 12.2

A distribuição \(N(\mu,1)\) pertence à família exponencial unidimensional?

• \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\): \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} ,~ -\infty<x<\infty\)

Definição 12.2: Família exponencial multidimensional

Dizemos que a distribuição da variável aleatória \(X\) pertence à família exponencial de dimensão \(k\) se sua f.p. ou f.d.p. é dada por \[ f(x) = \exp\left\{ \sum\limits_{j=1}^n c_j(\theta)T_j(x) + d(\theta) + S(x) \right\}, \] \(x\in A\),em que

• \(c_j\), \(T_j\), \(d\) e \(S\) são funções reais, \(j=1,\ldots,k\);
• \(A\) não envolve \(\theta\).

Exemplo 12.3

Verifique se a distribuição \(N(\mu,\sigma^2)\) pertence à família exponencial bidimensional.

• \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\): \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} ,~ -\infty<x<\infty\)

Teorema 12.1: Estatística suficiente na família exponencial

Seja \(X_1,\ldots,X_n\) uma amostra aleatória de uma distribuição pertencente à família exponencial de dimensão \(k\), cuja função de probabilidade ou densidade é dada por \[ f(x) = \exp\left\{\sum_{j=1}^{k}c_j(\boldsymbol{\theta})T_j(x)+d(\boldsymbol{\theta})+S(x)\right\} \] Então, sob as condições usuais de regularidade, a estatística \[ \mathbf{T}(\underset{\sim}{X}) = \left(\sum_{i=1}^{n}T_1(X_i),\ldots, \sum_{i=1}^{n}T_k(X_i)\right) \] é suficiente para o vetor de parâmetros \(\boldsymbol{\theta}\), desde que o suporte não dependa desses parâmetros.

• O Teorema 12.1 decorre diretamente do critério da fatoração de Neyman.

\[ \begin{aligned} f(x) &= \exp\left\{\sum_{j=1}^{k}c_j(\boldsymbol{\theta})T_j(x)+d(\boldsymbol{\theta})+S(x)\right\}\\ &= \exp\left\{\sum_{j=1}^{k}c_j(\boldsymbol{\theta})T_j(x)+d(\boldsymbol{\theta})\right\} \exp\left\{S(x)\right\}\\ &= h(\underset{\sim}{x})g_{\boldsymbol{\theta}}(\mathbf{T}(\underset{\sim}{X})) \end{aligned} \] com

• \(h(\underset{\sim}{x}) = \exp\left\{S(x)\right\}\)
• \(g_{\boldsymbol{\theta}}(\mathbf{T}(\underset{\sim}{X})) = \exp\left\{\sum_{j=1}^{k}c_j(\boldsymbol{\theta})T_j(x)+d(\boldsymbol{\theta})\right\}\).

Exemplo 12.4

Determine as estatísticas suficientes encontradas nos exemplos anteriores.

Fim