Erro Quadrático Médio de um Estimador

ESTAT0078 – Inferência I

Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br
http://sadraquelucena.github.io/inferencia1

  • Na aula anterior, aprendemos a verificar se um estimador é viesado.
  • Em geral, dado um parâmetro desconhecido, pode existir uma infinidade de funções da amostra que podem ser usadas para determinar estimadores para esse parâmetro.
  • Precisamos então definir um critério para selecionar um deles.
  • Um bom estimador deve estar próximo do verdadeiro valor do parâmetro que ele estima.
  • Uma medida de proximidade do estimador \(\widehat{\theta}\) em relação ao parâmetro \(\theta\), que ele estima, é dada pelo erro quadrático médio do estimador.

Definição 4.1: Erro Quadrático Médio de um estimador

O erro quadrático médio de um estimador \(\widehat{\theta}\) do parâmetro \(\theta\) é dado por \[ EQM(\widehat{\theta}) = E\left[ \left( \widehat{\theta} - \theta \right)^2 \right]. \]

  • É possível mostrar que \[ EQM(\widehat{\theta}) = \text{Var}(\widehat{\theta}) + B^2(\widehat{\theta}). \]

  • No caso em que \(\widehat{\theta}\) é não viesado para \(\theta\), temos que \[ EQM(\widehat{\theta}) = \text{Var}(\widehat{\theta}). \]

  • Dizemos que \(\widehat{\theta}_1\) é melhor que \(\widehat{\theta}_2\) se \[ EQM(\widehat{\theta}_1) \leq EQM(\widehat{\theta}_2), \] para todo \(\theta\), em que podemos substituir “\(\leq\)” por “\(<\)” para pelo menos um valor de \(\theta\).

  • Nesse caso, o estimador \(\widehat{\theta}_2\) é dito ser inadmissível, visto que há outro com menor erro quadrático médio.

  • Se existir um estimador \(\widehat{\theta}^*\) tal que, para todo estimador \(\widehat{\theta}\) de \(\theta\) com \(\widehat{\theta}\neq\widehat{\theta}^*\), \[ EQM(\widehat{\theta}^*) \leq EQM(\widehat{\theta}), \] para todo \(\theta\), em que podemos substituir “\(\leq\)” por “\(<\)” para pelo menos um \(\theta\), então \(\widehat{\theta}^*\) é dito ser ótimo para \(\theta\).

  • Se os estimadores são não viesados, então \(\widehat{\theta}^*\) é dito ser o estimador não viesado de variância uniformemente mínima, se \[ \text{Var}(\widehat{\theta}^*) \leq \text{Var}(\widehat{\theta}), \] para todo \(\theta\), com “\(\leq\)” substituídos por “\(<\)” para pelo menos um \(\theta\).

Exemplo 4.1

Sejam \(X_1,\ldots,X_n\) uma amostra aleatória de uma variável aleatória com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\). Temos os seguintes estimadores para a média populacional \(\mu\): \[ \overline{X} = \frac{X_1+\cdots+X_n}{n} \quad \text{e} \quad \widetilde{X} = \frac{2X_1+X_2+\cdots+X_n}{n+1}. \] Qual estimador tem menor erro quadrático médio?

Exemplo 4.2

Seja \(\widehat{\mu} = X_1\) um etimador para a média populacional \(\mu\). Ele é melhor que \(\overline{X}\) quando comparados os erros quadráticos médios?

Exemplo 4.3

Seja \(X_1, X_2, X_3\) uma amostra aleatória obtida de \(X\) com distribuição de Poisson(\(\lambda\)). Determine o melhor estimador entre \[\widehat{\lambda}_1 = \frac{X_1+X_2+X_3}{3} \quad \text{e}\quad \widehat{\lambda}_2=\frac{X_1+X_2+2X_3}{4}.\]

Fim