Estatísticas Suficientes

ESTAT0078 – Inferência I

Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br
http://sadraquelucena.github.io/inferencia1

Definição 6.1: Estatística Suficiente

Dizemos que a estatística \(T = T(X_1, \ldots, X_n)\) é suficiente para \(\theta\), quando a distribuição condicional de \(X_1, \ldots, X_n\) dado \(T\) for independente de \(\theta\).

Em outras palavras, uma estatística suficiente contém todas a informação sobre \(\theta\) presente na amostra.

Para verificarmos se \(T\) é uma estatística suficiente para \(\theta\):

Calculamos \[ \begin{aligned} P(X_1=x_1,\ldots,X_n=x_n | T=t) =&\\ &\hspace{-7cm}\frac{P(X_1=x_1,\ldots,X_n=x_n, T=t)}{P(T=t)} \end{aligned} \]
Se \(P(X_1=x_1,\ldots,X_n=x_n | T=t)\) não envolve \(\theta\), dizemos que \(T\) é suficiente para \(\theta\).

Exemplo 6.1

Seja \(X_1, \ldots, X_n\) uma amostra aleatória da distribuição de Bernoulli (\(\theta\)). Verifique se \(T = \sum\limits_{i=1}^n X_i\) é suficiente para \(\theta\).

Lembretes

\(X\sim \text{Bernoulli}(p)\): \(P(X=x)=p^x(1-p)^{1-x}\), \(x=0,1\).
A soma de \(n\) v.a. de Bernoulli(\(p\)) tem distribuição Binomial(\(n,p\)).
\(Y\sim\text{Binomial}(n,p)\): \(P(Y=y)=\binom{n}{y} p^y (1-p)^{n-y}\), \(y=0,1,2,\ldots,n\).

Exemplo 6.2

Considere o exemplo anterior, com \(n=3\) e \(T = X_1 + 2 X_2 + X_3\). Verifique que \(T\) não é suficiente para \(\theta\).

Dica: Considere \(X_1=1\), \(X_2=0\) e \(X_3=1\).

Exemplo 6.3

Seja \(X_1, \ldots, X_n\) uma amostra aleatória da distribuição de Poisson com parâmetro \(\theta\). Verifique se \(T=\sum\limits_{i=1}^n X_i\) é suficiente para \(\theta\).

Lembrete

\(X\sim\) Poisson(\(\theta\)): \(P(X=x)=\frac{e^{-\theta}\theta^x}{x!}\), \(x=0,1,2,\ldots\)