Critério da Fatoração de Neyman

ESTAT0078 – Inferência I

Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br
http://sadraquelucena.github.io/inferencia1

Teorema 7.1: Critério da Fatoração de Neyman

Sejam \(X_1, \ldots, X_n\) uma amostra aleatória da distribuição da variável aleatória \(X\) com função de densidade (ou de probabilidade) \(f(x)\) e função de verossimilhança \(L(\theta; \underset{\widetilde{\phantom{a}}}{x})\). Temos, então, que a estatística \(T = T(X_1, \ldots, X_n)\) é suficiente para \(\theta\), se e somente se pudermos escrever

\[ L(\theta; \underset{\widetilde{\phantom{a}}}{x}) = h(x_1,\ldots,x_n) g_\theta(T(x_1,\ldots,x_n)), \]

em que

• \(h(x_1,\ldots,x_n)\) só envolve \(x_1,\ldots,x_n\) (não envolve \(\theta\));

• \(g_\theta(T(x_1,\ldots,x_n))\) envolve \(\theta\) e \(T(x_1,\ldots,x_n)\).

• Prova: Livro do Bolfarine, pág. 22.

Exemplo 7.1

Seja \(X_1, \ldots, X_n\) uma amostra aleatória da distribuição de Poisson com parâmetro \(\theta\). Use o critério da fatoração para mostrar que \(T(\underset{\widetilde{\phantom{a}}}{x})=\sum\limits_{i=1}^n X_i\) é suficiente para \(\theta\).

Lembrete

\(X\sim\) Poisson(\(\theta\)): \(f(x)=\frac{e^{-\theta}\theta^x}{x!}\), \(x=0,1,2,\ldots\)

Exemplo 7.2

Seja \(X_1, \ldots, X_n\) uma amostra aleatória da variável \(X\sim U(0,\theta)\). Encontre uma estatística suficiente para \(\theta\) usando o critério da fatoração.

Lembrete

\(X\sim U(a,b)\): \[ f(x)=\frac{1}{b-a} I_{(a,b)}(x) \quad \text{em que} \quad I_{(a,b)}(x) = \begin{cases} 1, & a<x<b,\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases} \]

Exemplo 7.3

Seja \(X_1, \ldots, X_n\) uma amostra aleatória da distribuição \(N(\mu,1)\). Encontre uma estatística suficiente para \(\mu\) usando o critério da fatoração.

Lembrete

\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\): \(f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} ,~ -\infty<x<\infty\)

Exemplo 7.4

Seja \(X_1, \ldots, X_n\) uma amostra aleatória da distribuição Bernoulli\((\theta)\). Encontre uma estatística suficiente para \(\theta\) usando o critério da fatoração.

Lembrete

\(X\sim \text{Bernoulli}(\theta)\): \(f(x)=\theta^x (1-\theta)^{1-x}, ~ x = 0,1\)

Fim