Critério da Fatoração: Caso Multiparamétrico

ESTAT0078 – Inferência I

Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br
http://sadraquelucena.github.io/inferencia1

Teorema 8.1: Critério da Fatoração de Neyman

Sejam \(X_1, \ldots, X_n\) uma amostra aleatória da distribuição da variável aleatória \(X\) com função de densidade (ou de probabilidade) \(f(x)\). Temos, então, que a estatística \(T = (T_1, \ldots, T_r)\) é conjuntamente suficiente para \(\theta\), se \[ L(\theta; \underset{\widetilde{\phantom{a}}}{x}) = h(x_1,\ldots,x_n) g_\theta(T_1(\underset{\widetilde{\phantom{a}}}{x}),\ldots,T_n(\underset{\widetilde{\phantom{a}}}{x})), \] em que

  • \(h(x_1,\ldots,x_n)\) só envolve \(x_1,\ldots,x_n\) (não envolve \(\theta\));
  • \(g_\theta(T(x_1,\ldots,x_n))\) envolve \(\theta\) e \(T_1(\underset{\widetilde{\phantom{a}}}{x}),\ldots,T_n(\underset{\widetilde{\phantom{a}}}{x})\).

Exemplo 8.1

Seja \(X_1, \ldots, X_n\) uma amostra aleatória de tamanho \(n\) da variável aleatória \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\). Use o critério da fatoração para determinar duas estatísticas conjuntamente suficientes \((\mu,\sigma^2)\).


Lembrete

\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\): \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} ,~ -\infty<x<\infty\)

Exemplo 8.2

Seja \(X_1, \ldots, X_n\) uma amostra aleatória da variável aleatória \(X\) com distribuição Gama\((\alpha,\beta)\). Encontre uma estatística conjuntamente suficiente para \((\alpha,\beta)\).


Lembrete

\(X\sim\) Gama\((\alpha,\beta)\): \(f(x) = \frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}\), \(x>0\), \(\alpha,\beta>0\)

Definição 8.1

Dizemos que duas estatísticas \(T_1\) e \(T_2\) são equivalentes se existir uma relação 1:1 entre elas.

  • Em outra palavras, \(T_1\) e \(T_2\) são equivalentes se \(T_1\) puder ser obtida a partir de \(T_2\) e vice-versa.

  • Nesse caso, temos que, se \(T_1\) é suficiente para \(\theta\), então \(T_2\) também é suficiente para \(\theta\). Esse resultado vale também para o caso multidimensional.

Exemplo 8.3

Considerando o Exemplo 8.1, \(\overline{X} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n X_i}{n}\) é suficiente para \(\mu\)?

Fim