Família Exponencial

ESTAT0078 – Inferência I

Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br
http://sadraquelucena.github.io/inferencia1

Definição 9.1: Família Exponencial

Dizemos que a distribuição da variável aleatória \(X\) pertence à família exponencial unidimensional se pudermos escrever sua densidade (ou função de probabilidade), \(f(x)\), na forma \[ f(x) = \exp\{ c(\theta)T(x) + d(\theta) + S(x) \}, \] \(x\in A\), em que

• \(c\), \(T\), \(d\) e \(S\) são funções reais,
• \(A\) não envolve \(\theta\).

Exemplo 9.1

A distribuição Bernoulli\((\theta)\) pertence à família exponencial unidimensional?

Lembrete

\(X\sim \text{Bernoulli}(\theta)\): \(f(x)=\theta^x (1-\theta)^{1-x} ,~ x=0,1.\)

Exemplo 9.2

A distribuição \(N(\mu,1)\) pertence à família exponencial unidimensional?

Lembrete

\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\): \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} ,~ -\infty<x<\infty\)

Definição 9.2

Dizemos que a distribuição da variável aleatória \(X\) pertence à família exponencial de dimensão \(k\) se sua f.p. ou f.d.p. é dada por \[ f(x) = \exp\left\{ \sum\limits_{j=1}^n c_j(\theta)T_j(x) + d(\theta) + S(x) \right\}, \] \(x\in A\),em que

• \(c_j\), \(T_j\), \(d\) e \(S\) são funções reais, \(j=1,\ldots,k\);
• \(A\) não envolve \(\theta\).

Exemplo 9.3

Verifique se a distribuição \(N(\mu,\sigma^2)\) pertence à família exponencial bidimensional.

Lembrete

\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\): \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} ,~ -\infty<x<\infty\)

Fim