Estatística Completa e Estimador Não Viciado de Variância Uniformemente Mínima

ESTAT0078 – Inferência I

Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br
http://sadraquelucena.github.io/inferencia1

  • A definição de estatística completa junto com a definição de suficiência, possibilita a obtenção do estimador ótimo, isto é, o estimador não viciado de variância uniformemente mínima.

Definição 10.1: Estatística Completa

Uma estatística \(T\) é dita completa em relação à família \(f(x)\) se, dada uma função \(g(T)\), \[ E\left(g(T)\right) = 0 \quad \text{apenas se } g(T)=0 \] com probabilidade 1.

Exemplo 10.1

Seja \(X_1,\ldots,X_n\) uma amostra aleatória obtida de \(X\) com distribuição de Poisson com parâmetro \(\lambda>0\), desconhecido. Mostre que \(T=\sum\limits_{i=1}^n X_i\sim\) Poisson(\(n\lambda\)) é uma estatística completa em relação à Poisson.


Lembrete

\(X\sim\) Poisson(\(\theta\)): \(P(X=x)=\frac{e^{-\theta}\theta^x}{x!}\), \(x=0,1, 2,\ldots\)

Exemplo 10.2

Seja \(X_1\), \(X_2\) uma amostra aleatória da variável \(X\sim\) Bernoulli(\(p\)). Verifique que \(T = X_1-X_2\) não é uma estatística completa.


Lembrete

\(X\sim\) Bernoulli(\(p\)): \(P(X=x)=p^x (1-p)^{1-x}\), \(x=0,1\)

Exemplo 10.3

Seja \(X_1,\ldots,X_n\) uma amostra aleatória obtida de \(X\) com distribuição de Bernoulli com parâmetro \(p\), \(0<p<1\). Mostre que \(T=\sum\limits_{i=1}^n X_i\) é uma estatística completa.


Lembretes

  1. \(X\sim\) Bernoulli(\(p\)): \(P(X=x)=p^x (1-p)^{1-x}\), \(x=0,1\)

  2. \(T\sim\) Binomial(\(n,p\)): \(P(T=t) = \binom{n}{t} p^t (1-p)^{n-t}\), \(x=0,1,2,\ldots,n\)

Teorema 10.1

Suponha que \(X\) tenha distribuição pertencente à família exponencial, ou seja, podemos escrever \[ f(x) = \exp\left\{c(\theta)T(x) + d(\theta) + S(x)\right\}, \] então \(T(x)\) é suficiente para \(\theta\).

  • \(T(x)\) também será completa se o domínio de \(c(\theta)\) contiver um intervalo da reta.

Teorema 10.2: Teorema de Lehmann-Scheffé

Sejam \(X_1,\ldots,X_n\) uma amostra aleatória de \(X\) com f.d.p. (ou f.p.) \(f(x)\). Seja \(T\) uma estatística suficiente e completa. Seja \(S\) um estimador não viciado de \(\theta\). Então \(\widehat{\theta}=E(S|T)\) é o para \(\theta\).


- Prova no livro do Bolfarine, pág. 31.

Exemplo 10.4

Sejam \(X_1,\ldots,X_n\) uma amostra aleatória da distribuição de Poisson com parâmetro \(\theta\). Verifique que \(\overline{X}\) é o ENVVUM para \(\theta\).


Lembrete

\(X\sim\) Poisson(\(\theta\)): \(P(X=x)=\frac{e^{-\theta}\theta^x}{x!}\), \(x=0,1, 2,\ldots\)

Fim