O Método dos Momentos

ESTAT0078 – Inferência I

Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br
http://sadraquelucena.github.io/inferencia1

Anteriormente consideramos um critério para verificar se determinado estimador é ou não eficiente.
Contudo, tal procedimento não é um método que possibilita, em geral, a obtenção de estimadores em situações específicas.
Agora vamos considerar alguns métodos que possibilitam a obtenção de estimadores em situações específicas.
Veremos o Método dos Momentos e o Método da Máxima Verossimilhança.

Método dos Momentos

Seja \(X_1, \ldots, X_n\) uma amostra aleatória de \(X\) com distribuição de probabilidade com \(k\) parâmetros desconhecidos a serem estimados \((\theta_1, \ldots, \theta_k)\).
O método dos momentos para obter os estimadores \(\widehat{\theta}_1, \ldots, \widehat{\theta}_k\) de \(\theta_1, \ldots, \theta_k\), respectivamente, consiste em igualar os momentos teóricos populacionais aos correspondentes momentos amostrais e solucionar as equações para os parâmetros envolvidos.

Definição 11.1: Momentos Populacionais

Chama-se momento (populacional) de ordem \(k\) (\(k \geq 1\) inteiro positivo) da variável aleatória \(X\) em relação a 0, a esperança matemática de \(X^k\), ou seja, \[ \mu'_k = E(X^k) = \begin{cases} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x^k \,f(x)\,dx, & \text{no caso contínuo},\\ \sum\limits_i x_i^k \,P(X=x_i), & \text{no caso discreto}. \end{cases} \]

Em particular, se \(k=1\), temos o valor esperado de \(X\), \(\mu = E(X)\).

Definição 11.2: Momento Centrado

O momento (populacional) de ordem \(k\) em relação à média da variável aleatória \(X\) (momento centrado na média) é definido por \[ \mu_k = E\left[(X-\mu)^k\right] = \begin{cases} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} (x-\mu)^k \,f(x)\,dx, & \text{no caso contínuo},\\ \sum\limits_i (x_i-\mu)^k \,P(X=x_i), & \text{no caso discreto}. \end{cases} \]

Em particular, se \(k=2\), temos a variância da variável aleatória \(X\), \(\mu = E(X)\).

Definição 11.3: Momentos Amostrais

Chama-se momento amostral de ordem \(k\) (\(k\geq 1\) inteiro positivo) em relação a 0 a estatística \[ M_k = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i^k. \]

O primeiro momento amostral (\(k=1\)) em relação à origem é a média amostral, \(\overline{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i\).

Definição 11.4: Momento Amostral Centrado

O momento amostral de ordem \(k\) em relação à média (centrado na média) \(\overline{x}\) é definido por \[ M_k = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^k. \]

O segundo momento amostral (\(k=2\)) em relação à média costuma ser representado por \(\widehat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2\).

De acordo com o método dos momentos, os estimadores \(\widehat{\theta}_1, \ldots, \widehat{\theta}_k\) de \(\theta_1, \ldots, \theta_k\), dos parâmetros \(\theta_1, \ldots, \theta_k\) são obtidos igualando os momentos populacionais aos correspondentes momentos amostrais baseados em uma amostra aleatória \(X_1, \ldots, X_n\).
Ou seja, consideramos os momentos ordinários (centrados na origem) e resolvemos o sistema de equações \[ E(X^r) = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i^r, \quad r=1,2\ldots,k, \] em que \(E(X^r)\) são fórmulas envolvendo os parâmetros a serem estimados.

A utilização do método dos momentos depende da existência de solução única para a equação acima e da existência dos momentos teóricos.

Exemplo 11.1

Obtenha através do método dos momentos e, a partir de uma amostra aleatória de tamanho \(n\) (\(X_1, \ldots, X_n\)) os estimadores para os parâmetros:

\(p\), de uma distribuição de Bernoulli;
\(\lambda\), de uma distribuição Poisson;
\(p\), de uma distribuição Binomial com \(n\) conhecido.

Exemplo 11.2

Seja \(X_1, \ldots, X_n\) uma amostra aleatória de \(X \sim\) Exponencial com valor esperado \(1/\alpha\). Obtenha através do método dos momentos o estimador para o parâmetro \(\alpha\).