O Método dos Momentos (Caso Multiparamétrico)

ESTAT0078 – Inferência I

Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br
http://sadraquelucena.github.io/inferencia1

Caso Multiparamétrico

Como fazer:

  1. Igualamos os \(k\) primeiros momentos populacionais aos amostrais.
  2. Resolvemos o sistema para isolar os parâmetros.

\[ \begin{cases} \mu'_1(\theta_1, \dots, \theta_k) = \overline{X} \\ \mu'_2(\theta_1, \dots, \theta_k) = \frac{1}{n}\sum X_i^2 \\ \vdots \end{cases} \]

Caso Multiparamétrico

  • Em algumas situações é mais fácil usar \(Var(X)\) no lugar de \(E(X^2)\). Nessa situação, igualamos a variância populacional ao segundo momento amostral centrado na média. No caso de dois parâmetros resolvemos o sistema \[ \begin{cases} E(X) = \overline{X} \\ Var(X) = \frac{\sum\limits_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2}{n}. \end{cases} \]

Exemplo 12.1

Seja \(X_1,\ldots,X_n\) uma amostra aleatória de \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\). Obtenha os estimadores de momentos para \(\mu\) e \(\sigma^2\).

Análise Crítica: O Viés na Variância

Atenção!

Compare o estimador obtido com a variância amostral \(S^2\): \[\widehat{\sigma}^2_{\!M\!M} = \frac{\sum(X_i - \overline{X})^2}{n} \quad \text{vs} \quad S^2 = \frac{\sum(X_i - \overline{X})^2}{n-1}\]

  • O estimador de momentos divide por \(n\), não por \(n-1\).
  • Consequência: \(E[\widehat{\sigma}^2_{\!M\!M}] = \frac{n-1}{n}\sigma^2\).
  • O estimador é VIESADO (subestima a variância verdadeira), mas é consistente (pois \(\frac{n-1}{n} \to 1\)).

Exemplo 12.2

Um atuário analisando uma carteira de seguro de automóveis recém-adquirida pela sua seguradora precisa estimar o Risco (variabilidade) e o Retorno Esperado (média) dessa carteira para precificar a renovação dos contratos. A variável de interesse \(X\) é a Sinistralidade Mensal (Sinistros Pagos / Prêmios Arrecadados), expressa em %. Supomos que, devido ao Teorema Central do Limite (muitas apólices independentes), \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\). Os Dados (Amostra de \(n=6\) meses) foram: \[\mathbf{x} = \{ 55, 60, 45, 70, 50, 80 \}\]

Qual o retorno médio (\(\widehat{\mu}\)) e o risco (\(\widehat{\sigma}^2\)) estimados pelo método dos momentos?

Exemplo 12.3

Seja \(X \sim\) Uniforme(\(a, b\)). Obtenha os estimadores de momentos de \(a\) e \(b\).


Dica

\(X\sim\) Uniforme(\(a,b\)): \(E(X) = (a+b)/2\) e \(Var(X)=(a+b)^2/12\)

Exemplo 12.4

Seja \(X \sim\) Binomial(\(m, p\)), onde ambos são desconhecidos. (Exemplo: Estimar o número total de pessoas expostas ao risco \(m\) e a probabilidade de sinistro \(p\) apenas observando o número de sinistros).


Limitação

Para que \(\widehat{p}\) e \(\widehat{m}\) façam sentido, precisamos que \(\overline{X} > S^2\) (subdispersão). Caso contrário, teremos probabilidades negativas ou \(m\) negativo!

Conclusão sobre o Método dos Momentos

  • Vantagens:
    • Intuitivo e fácil de aplicar.
    • Ótimo “ponto de partida” (chute inicial) para métodos iterativos.
  • Desvantagens:
    • Geralmente não é eficiente (maior variância).
    • Pode gerar estimativas fora do espaço paramétrico (como visto na Binomial ou Pareto).
    • Viesado em pequenas amostras.

Próximo Passo

  • O Método de Máxima Verossimilhança (MV), que resolve a maioria desses problemas de eficiência.

Fim