Estimação Intervalar: A Lógica da Quantidade Pivotal

ESTAT0078 – Inferência I

Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br
http://sadraquelucena.github.io/inferencia1

Introdução

  • Estimativa Pontual (\(\hat{\theta}\)):
    • Um único valor numérico baseado na amostra.
    • Limitação: Não indica precisão ou incerteza da estimativa.
  • Estimativa Intervalar:
    • Um intervalo de valores plausíveis \([L(\mathbf{X}), U(\mathbf{X})]\).
    • Os limites são funções da amostra (variáveis aleatórias).
  • Exemplo: Se você estima que o custo médio de um sinistro de uma seguradora é R$ 1.000,00 e baseia todo o seu fundo de reserva nisso, qualquer variação para cima quebra a empresa.
  • O Intervalo de Confiança quantifica essa incerteza, permitindo uma gestão de riscos mais robusta.

Objetivo da Estimação Intervalar

  • Construção do Intervalo:
    • Encontrar duas estatísticas, \(L(\mathbf{X})\) e \(U(\mathbf{X})\), tais que: \[P[L(\mathbf{X}) \leq \theta \leq U(\mathbf{X})] = 1 - \alpha\]
  • Nível de Confiança (\(1 - \alpha\)):
    • É a probabilidada priori (antes da coleta dos dados) de que o intervalo contenha o verdadeiro valor do parâmetro \(\theta\).
  • Significância (\(\alpha\)):
    • A probabilidade de erro, ou seja, do intervalo construído não conter o parâmetro.

Definição 16.1: Quantidade Pivotal

Uma variável aleatória \(Q(X_1, \ldots, X_n; \theta) = Q(\mathbf{X}; \theta)\) é dita ser uma quantidade pivotal para o parâmetro \(\theta\) se sua distribuição de probabilidade não depende de \(\theta\).

  • Diferença Fundamental:
    • Estatística: Não pode conter \(\theta\). Conseguimos calcular o seu valor numérico apenas com os dados da amostra. (Ex: \(\overline{X}\)).
    • Quantidade Pivotal: Deve conter o parâmetro, mas sua distribuição deve ser livre dele (Ex: \(Z=\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)\)).

Exemplo 16.1

Considere \(X_1, \ldots, X_n \sim N(\mu, \sigma^2)\). As equações abaixo são quantidades pivotais para o parâmetro de interesse?

  1. \(\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)\). (Dica: A distribuição depende de \(\mu\)?)

  2. \(S^2 \sim \frac{\sigma^2}{n-1} \chi^2_{n-1}\). (Dica: A distribuição depende de \(\sigma^2\)?)

  3. \(Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)\) (com \(\sigma\) conhecido).

  4. \(Q = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}\).

  5. \(D = \bar{X} - \mu \sim N(0, \sigma^2/n)\)

Passos para o Intervalo de Confiança

  • Passo 1: Selecione uma Quantidade Pivotal \(Q(\mathbf{X}, \theta)\) com distribuição conhecida.
  • Passo 2: Escolha o nível de confiança \(1-\alpha\) (ex: 95%) e encontre os valores críticos \(\lambda_1\) e \(\lambda_2\) na tabela, tais que: \[P(\lambda_1 \leq Q(\mathbf{X}, \theta) \leq \lambda_2) = 1-\alpha.\]
  • Passo 3: Use álgebra para isolar o parâmetro \(\theta\) no centro da desigualdade.
  • Resultado: \(P(L(\mathbf{X}) \leq \theta \leq U(\mathbf{X})) = 1-\alpha\).
    • \(L(\mathbf{X})\) e \(U(\mathbf{X})\) são os limites do intervalo de confiança.

Exemplo 16.2

Seja \(X_1, \ldots, X_n\) uma a.a. de \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) com \(\sigma^2\) conhecido. Encontre o IC para \(\mu\) usando a quantidade pivotal \(Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)\).

Exemplo 16.3

Sejam \(X_1, \dots, X_n \sim Exp(\theta)\). Utilize a quantidade pivotal \(Q = 2\theta \sum X_i \sim \chi^2_{2n}\) para derivar o IC para \(\theta\).

Exemplo 16.4

Seja \(X \sim U(0, \theta)\) uma única observação. Use a quantidade pivotal \(Q = X/\theta \sim U(0,1)\) e monte um IC de 95% para \(\theta\).

A Armadilha da Interpretação

O nível de confiança (\(1-\alpha\)) mostra em que porcentagem das vezes o seu cálculo vai produzir um resultado correto se você repetir o experimento várias vezes.

  1. O Intervalo é Aleatorio
  • Antes da coleta: Os limites \(L(\mathbf{X})\) e \(U(\mathbf{X})\) são funções da amostra (variáveis aleatórias).
  • Depois da coleta: O intervalo torna-se fixo (ex: \([10, 20]\)). Aqui, a probabilidade de conter \(\theta\) é 0 ou 1 (ou está lá, ou não está).

A Armadilha da Interpretação

  1. O Parâmetro \(\theta\) é Fixo
  • \(\theta\) é uma constante desconhecida. Ele não “flutua”. É o intervalo que “tenta cercar” o parâmetro.

A Armadilha da Interpretação

  1. Certo vs. Errado (Exemplo: Confiança de 95%)
Interpretação Frase
ERRADO “Existe 95% de probabilidade de θ estar entre 10 e 20.”
CORRETO “Este intervalo foi construído por um método que, em 95% das vezes, produz intervalos que contêm o verdadeiro parâmetro.”
CORRETO “Temos 95% de confiança de que o parâmetro θ esteja no intervalo [10,20].”

Analogia do Alvo e o Aro

Imagine que o parâmetro \(\theta\) é um alvo fixo no chão e o Intervalo de Confiança é um aro que você lança.

  1. Antes de lançar (Passo a priori):
  • O aro ainda está na sua mão. A posição onde ele vai cair é uma variável aleatória.
  • Probabilidade: Existe 95% de chance do aro cair “cercando” o alvo.

Analogia do Alvo e o Aro

  1. Depois que o aro caiu (Passo a posteriori):

  • O aro já está no chão (os dados já foram coletados e o intervalo calculado, ex: \([10, 20]\)).

  • Fato: Ou o aro cercou o alvo, ou não cercou. Não há mais “95% de chance”.

  • Confiança: O “95%” agora refere-se à precisão do seu braço (o método), não à posição do alvo.

  • Conclusão: O alvo (\(\theta\)) nunca se mexe. É o aro (o intervalo) que é lançado e pode ou não capturá-lo. Por isso, após os cálculos, trocamos a palavra Probabilidade pela palavra Confiança.

Fim