Intervalos de Confiança para a Média

ESTAT0078 – Inferência I

Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br
http://sadraquelucena.github.io/inferencia1

Introdução

Na aula anterior, definimos o conceito de Quantidade Pivotal: uma função $Q(\mathbf{X}, \theta)$ que combina dados e o parâmetro, mas cuja distribuição não depende de $\theta$.
Agora, utilizaremos essa ferramenta para construir Intervalos de Confiança (IC) para a média ($\mu$).
O objetivo é identificar qual quantidade pivotal utilizar em cada cenário, garantindo que nossa estimativa tenha um fundamento probabilístico sólido.

Cenário 1: População Original Normal

Se a variável aleatória $X$ na população segue uma distribuição Normal, $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, então a média amostral $\overline{X}$ será exatamente Normal para qualquer tamanho de amostra $n$: \[\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right).\]
Vantagem: Podemos trabalhar com amostras pequenas $(n < 30)$ sem perder a validade estatística.
Resultado: O intervalo de confiança construído aqui é chamado de exato.

Cenário 2: Teorema Central do Limite (TCL)

Se a distribuição da população for desconhecida ou não-normal, recorremos ao TCL.
Princípio: À medida que o tamanho da amostra ($n$) cresce, a distribuição de $\overline{X}$ se aproxima de uma Normal, não importa o formato original dos dados.
Nota sobre Assimetria: Se os dados originais forem muito assimétricos, precisaremos de um $n$ maior que 30 para que a aproximação seja segura.
Resultado: O intervalo de confiança construído aqui é chamado de assintótico (ou aproximado).

Formalização do TCL

Se $X_1, X_2, \dots, X_n$ é uma amostra aleatória de uma população com média $\mu$ e variância $\sigma^2$ finita, então: \[Z_n = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1) \quad \text{quando } n \to \infty\]
Implicação Prática: O TCL é o que permite fazer estatística no “mundo real”, onde raramente sabemos a distribuição exata dos dados. Ele garante que, com dados suficientes, a média sempre se proxima da Normal.

Como saber se os dados são Normais?

Métodos visuais: histograma e qq-plot.
Testes Estatísticos: Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov, Lilliefors, etc.
Medidas Descritivas: Verifique se Média ≈ Mediana e se os valores de Assimetria e Curtose estão próximos de zero.

Cenário 3: Amostras Pequenas e Não-Normais

E se os dados não forem normais e a amostra for pequena ($n < 30$)?
Neste caso, os métodos que veremos hoje não são confiáveis.
A média $\overline{X}$ não terá comportamento normal e os níveis de confiança (ex: 95%) serão falsos.
Solução: Nestes casos, entra-se no campo da Estatística Não-Paramétrica.

Decidindo a Quantidade Pivotal

Uma vez garantida a normalidade de $\overline{X}$ (via cenário 1 ou 2), a escolha da quantidade pivotal depende do nosso conhecimento sobre a dispersão da população ($\sigma^2$):
- Variância ($\sigma^2$) Conhecida:
  - Situação rara (ex: processos industriais muito estáveis).
  - Usamos a distribuição Normal Padrão (Z).
- Variância ($\sigma^2$) Desconhecida:
  - Situação padrão na prática.
  - Precisamos estimar a variância usando $S^2$.
  - Usamos a distribuição $t$ de Student.

Caso 1: Variância ($\sigma^2$) Conhecida

Quando a variância $\sigma^2$ é uma constante conhecida (ex: processos industriais padronizados), utilizamos a Distribuição Normal Padrão como base para a quantidade pivotal:

\[Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)\]

O Intervalo de Confiança (IC) então é

\[IC(\mu; 1-\alpha) = \left[ \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \, ; \, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]\]

Caso 2: Variância ($\sigma^2$) Desconhecida

Na prática, $\sigma^2$ é raramente conhecido, sendo necessário estimá-lo através da variância amostral $S^2$.
Ao substituir $\sigma$ por $S$, a quantidade pivotal assume uma nova distribuição:

\[T = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}\]

onde $t_{n-1}$ representa a Distribuição $t$ de Student com $n-1$ graus de liberdade.

Caso 2: Variância ($\sigma^2$) Desconhecida

O Intervalo de Confiança (IC) então é

\[IC(\mu; 1-\alpha) = \left[ \bar{x} - t_{\alpha/2, n-1} \frac{S}{\sqrt{n}} \, ; \, \bar{x} + t_{\alpha/2, n-1} \frac{S}{\sqrt{n}} \right]\]

A Distribuição $t$ de Student

Desenvolvida por William Gosset (pseudônimo Student) em 1908.

Características:
- Simétrica em relação à média (zero) e em forma de sino.
- Possui caudas mais largas, refletindo a incerteza de não conhecer $\sigma$.
- O parâmetro é chamado de graus de liberdade ($\nu = n - 1$).
- Conforme $n \to \infty$, a distribuição $t$ converge para a $N(0,1)$.
  - Na prática, para $n > 30$, as distribuições são muito parecidas, mas com o poder computacional atual, usamos $t$ para qualquer $n$.

Decisão entre as Distribuições $Z$ e $t$

A escolha do modelo probabilístico depende do conhecimento dos parâmetros populacionais e do tamanho amostral:

Condição	Distribuição	Quantidade Pivotal
$\sigma$ conhecido, Pop. Normal ou $n\geq 30$	Normal (Z)	$Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$
$\sigma$ desconhecido, Pop. Normal ou $n\geq 30$	t-Student (t)	$T=\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$

Exemplo 17.1

Uma indústria de laticínios produz embalagens de manteiga cujo peso segue uma distribuição normal. O controle de qualidade afirma que o desvio padrão histórico é de $10g$. Uma amostra de $25$ embalagens revelou um peso médio de $505g$. Construa um IC de 95% para o peso médio real ($\mu$).

Exemplo 17.2

Um atuário analisa o custo de sinistros de um novo produto de seguro. Como o produto é novo, não se conhece a variância populacional. Uma amostra aleatória de $9$ processos resultou em uma média de $R\$ 1.200,00$ e um desvio padrão de $R\$ 300,00$. Assumindo normalidade, determine o IC de 90% para a média dos sinistros.

Exemplo 17.3

Uma operadora de cartões de crédito deseja estimar o gasto médio mensal em lazer dos seus usuários. Sabe-se que a distribuição de gastos costuma ser muito assimétrica (muitas pessoas gastam pouco, poucas pessoas gastam muito). Uma amostra aleatória de $100$ usuários apresentou uma média de $R\$ 450,00$ e um desvio padrão de $R\$ 120,00$. Construa um IC de 99% para a média populacional $\mu$.

Interpretação Frequentista do IC

O parâmetro ($\mu$) é uma constante fixa, porém desconhecida.
O intervalo $[L(\mathbf{X}), U(\mathbf{X})]$ é uma variável aleatória, pois seus limites dependem da amostra.
A Confiança ($1-\alpha$) é a taxa de sucesso do método no longo prazo.

Checklist: Posso usar o IC para a Média?

Para usar as fórmulas desta aula, você precisa atender a pelo menos um desses critérios:
1. A população original é Normal? (Se sim, siga em frente independente do $n$).
2. A amostra é grande ($n \geq 30$)? (Se sim, o TCL garante a normalidade da média).
E se não atender nenhum dos dois? Se a amostra for pequena e a população não for normal, o método clássico falha. Entramos no campo da Estatística Não-Paramétrica.

Aplicação no R

No R (pacote DescTools), a função MeanCI automatiza esse processo:

# Exemplo no R
library(DescTools)
dados <- c(102, 98, 105, 99, 101) # Pequena amostra (n=5)
                                  # vamos supor normalidade
MeanCI(dados, conf.level = 0.95)

     mean    lwr.ci    upr.ci 
101.00000  97.59956 104.40044