Intervalos de Confiança para a Variância e para a Proporção

ESTAT0078 – Inferência I

Prof. Dr. Sadraque E. F. Lucena
sadraquelucena@academico.ufs.br
http://sadraquelucena.github.io/inferencia1

Introdução

  • Nas aulas passadas, focamos em estimar onde os dados estão centrados (\(\mu\)).
  • Hoje: Vamos estimar quanto os dados variam (\(\sigma^2\)) e a frequência de um evento (\(p\)).
  • Atenção Atuários e Estatísticos:
    • Saber a média de um sinistro (\(\mu\)) define o preço puro do seguro.
    • Saber a variância (\(\sigma^2\)) define o Risco de Ruína. Uma variância alta exige reservas muito maiores.
    • Não basta saber a média; precisamos medir a imprevisibilidade de um fenômeno.

Parte 1: Intervalo de Confiança para a Variância (\(\sigma^2\))

Para construir um IC para a variância populacional, assumimos que a população original é Normal.

  • A Quantidade Pivotal: Utilizamos a relação entre a variância amostral (\(S^2\)) e a populacional (\(\sigma^2\)):

\[Q = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}\]

  • Essa quantidade segue uma distribuição Qui-quadrado com \(n-1\) graus de liberdade.

A Distribuição Qui-quadrado (\(\chi^2\))

Diferente da Normal e da \(t\)-Student, a \(\chi^2\): 1. Não é simétrica: Ela é “torta” para a direita. 2. Só assume valores positivos: Variância nunca é negativa. 3. Consequência para o IC: Os valores críticos da tabela não são iguais (\(\pm z\)). Precisamos olhar dois valores distintos: \(\chi^2_{\text{inf}}\) e \(\chi^2_{\text{sup}}\).

Construção do IC para \(\sigma^2\)

Partimos da probabilidade: \[P(\chi^2_{\alpha/2} \le \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \le \chi^2_{1-\alpha/2}) = 1-\alpha\]

Ao isolar \(\sigma^2\) (invertendo as frações), obtemos:

\[IC(\sigma^2; 1-\alpha) = \left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}} \; ; \; \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}} \right]\]

  • Detalhe Crítico: O valor maior da tabela fica no denominador do limite inferior, e vice-versa.

Atenção: A Fragilidade do IC para \(\sigma^2\)

O método da Qui-quadrado não é robusto. Isso significa que ele é muito sensível à suposição de normalidade.

  • Diferente da média (onde o TCL ajuda em grandes amostras), para a variância, a curtose (peso das caudas) distorce gravemente a cobertura do intervalo.
  • Se os dados não forem normais:
    1. O nível de confiança real pode ser muito menor que 95% (o intervalo fica “mentiroso”).
    2. Solução: Utilizamos métodos computacionais de reamostragem, como o Bootstrap.

Regra de Ouro: Só use a fórmula da \(\chi^2\) se o teste de normalidade (ex.: Shapiro-Wilk) e o QQ-Plot confirmarem que os dados são normais.

Exemplo 18.1

Um analista de risco monitorou o retorno diário de uma ação por 20 dias e encontrou uma variância amostral igual a 0,04. Construa um IC de 95% para a variância real \(\sigma^2\).

Exemplo 18.2

Uma farmacêutica precisa garantir que a variabilidade na dosagem de um comprimido seja mínima. Uma amostra de 15 comprimidos revelou uma variância amostral de 4 \(\text{mg}^2\). Supondo que a dosagem segue uma distribuição Normal, construa um IC de 95% para a variância populacional (\(\sigma^2\)).

Parte 2: Intervalo para a Proporção (\(p\))

  • Agora mudamos o foco de variáveis contínuas (dinheiro, tempo) para variáveis binárias (Sucesso/Fracasso).

  • Estimador Pontual: \(\widehat{p} = \frac{X}{n}\) (número de sucessos / total).

  • A distribuição exata é a Binomial, que é complexa para calcular intervalos.

  • Usamos como solução para grandes amostras o Teorema Central do Limite (TCL).

Justificativa Assintótica

  • Para \(n\) suficientemente grande, a distribuição de \(\widehat{p}\) se aproxima de uma Normal:

\[\widehat{p} \approx N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)\]

  • A quantidade pivotal aproximada é: \(~Z = \frac{\widehat{p} - p}{\sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}} \sim N(0,1)\)

  • Isolando \(p\), chegamos ao Intervalo de Wald: \[IC(p) = \widehat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}\]

Validade do IC para \(p\)

  • O Método de Wald é uma aproximação. Para usá-lo, devemos garantir que a normalidade “pegou”.

  • Regra Prática: o intervalo é confiável se o número esperado de sucessos e fracassos for pelo menos 5 (alguns autores usam 10):

    • \(n \cdot \widehat{p} \ge 5\)
    • \(n \cdot (1-\widehat{p}) \ge 5\)

Caso contrário: Devemos usar métodos “Exatos” (como Clopper-Pearson), que o R calcula automaticamente se pedirmos.

Exemplo 18.3

Em uma pesquisa com 400 consumidores, 160 afirmaram preferir a marca A. Construa um IC de 95% para a proporção real de preferência.

Exemplo 18.4

Uma seguradora deseja estimar a taxa de renovação de sua carteira de automóveis para projetar o fluxo de caixa do próximo ano. Em uma amostra aleatória de 500 apólices que venceram no mês passado, 425 foram renovadas. Construa um IC de 90% para a verdadeira proporção de renovação (\(p\)).

Aplicação no R: VarCI

  • Para a variância, utilizamos a função VarCI do pacote DescTools.
library(DescTools)

# Dados do Exemplo 18.2
# Supondo que temos os dados brutos ou simulando com s^2=4
set.seed(123)
dosagem <- rnorm(n = 15, mean = 50, sd = 2) # sd=2 -> var=4

# Cálculo do IC para a Variância
VarCI(dosagem, conf.level = 0.95, method = "classic")
     var   lwr.ci   upr.ci 
2.858395 1.532126 7.109517 
# Se você quiser o IC para o Desvio Padrão, basta usar
# o argumento sd = TRUE dentro da mesma função (ou tirar
# a raiz quadrada dos limites manualmente).
# Se os dado não forem normais, use method = "boot"

Aplicação no R: BinomCI

  • Para proporções, o pacote DescTools oferece a função BinomCI.
library(DescTools)

# x = sucessos, n = total
# method = "wald" (para grandes amostras)
BinomCI(x = 160, n = 400, conf.level = 0.95, method = "wald")
     est    lwr.ci    upr.ci
[1,] 0.4 0.3519909 0.4480091
# Se a amostra for pequena, use na função
# method = "clopper-pearson"

Resumo

Parâmetro Cenário O que usar Ação / Fórmula
\(\sigma^2\) População Normal Qui-quadrado
(\(\chi^2\))		 \(\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\text{sup}}} ; \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\text{inf}}} \right]\)
\(\sigma^2\) População Não-Normal Bootstrap (Reamostragem) Usar métodos computacionais.
\(p\) Grandes Amostras
(\(n\widehat{p} \ge 5\))		 Normal (\(Z\)) [Wald] \(\widehat{p} \pm z \sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}\)
\(p\) Pequenas Amostras Exato [Clopper-Pearson] Usar função do R.

Fim